問題文全文(内容文)：
定義に従って$f(x)=\log x$を微分せよ.

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{x} \sqrt{ 1+\{f'(t)\}^2 }dt=-e^{-x}+f(x)$
（1）
$f(x)$を求めよ。

（2）
$\displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{ 1+\{f'(x)\}^2 }\ dx$

出典：2015年群馬大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
次の関数の第3次導関数を求めよ。
y= √ (2x+1)
以下、略

次のことが成り立つことを証明せよ。
y= x√ (1+x²）のとき、(1+x²)y'' + xy' = 4y
以下、略

問題文全文(内容文)：
$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および

第$2$次導関数$f''(x)$をもち、

すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。

さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$

このとき、

$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、

関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする

$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。

(2)実数$x$を変数とする関数

$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$

はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。

また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。

(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。

$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し

小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。

$2025$年名古屋大学理系過去問題