問題文全文(内容文)：
点$A$を中心とする円$x^2+(y-a{)}^2=b{b}^2$が、放物線$y=x^2$と異なる2点$P,Q$で接している。
ただし、$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする。
次の各問いに答えよ。

（1）$a$と$b$の関係式を求めよ。
（2）$\mathrm{△}APQ$が正三角形のとき、円と放物線で囲まれた三日月形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$放物線$C:y=x^2$上の点$(a,a^2)$　$(a>0)$における法線lの方程式を$y=f(x)$
とおくと、$f(x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを
求めると、$Q(\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}},{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}^2)$となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積$V(a)$を求める。Dに含まれるl上
の点を$R(t,f(t))$　$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$ $\leqq t\leqq a)$とおく。Rを通りlに垂直な直線は
$y=2a(x-t)+f(t)$で与えられる。この直線と$y=x^2$の2つの交点のうち
Dに含まれる方の点Sのx座標は$x=a-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\sqrt{a-t}$ となる。このとき
線分RSの長さ$r=g(t)$は$g(t)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}(t-a+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\sqrt{a-t})$となる。
線分QRの長さ$s=h(t)$は$h(t)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}(t-\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}})$で与えられるので、
$V(a)=\pi {\int }_0^{h(a)}{r}^{2}ds=\pi {\int }_{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}^a{\{g(t)\}}^2{h}^{\prime }(t)dt$
$=\pi \{(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}{)}^2\times \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}\}{\int }_{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}{)}^{2}dt$
となる。ここで$u=\sqrt{a-t}$とおいて置換積分を行えば
$V(a)=2\pi \{(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}{)}^2\times \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}\}{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}\{u^5-2\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}{u}^4+(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}{)}^2{u}^3\}du=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$
が求まる。さらに、$a>0$の範囲で$a$を動かすとき、$\underset{a\to +0}{lim}V(a)=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}V(a)=\mathrm{\infty }$
であり、$V(a)$を最小にするaの値は$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$の解答群
ⓐ$-\frac{2}{a}(x-a)+a^2$　ⓑ$-\frac{1}{a}(x-a)+a^2$　ⓒ$-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$　ⓓ$-2a(x-a)+a^2$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}～\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$の解答群
ⓐ$-\frac{a^2-1}{a}$　ⓑ$-\frac{2a^2-1}{2a}$　ⓒ$-\frac{a^2+1}{a}$　ⓓ$-\frac{2a^2+1}{2a}$
ⓔ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}$　ⓕ$\sqrt{a^2+1}$　ⓖ$\sqrt{4a^2+1}$　ⓗ$2a$
ⓘ$\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$　ⓙ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$　ⓚ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$　ⓛ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}$
ⓜ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}$ ⓝ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}$　ⓞ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}$　ⓟ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の解答群
$\mathrm{ⓐ}\frac{(2a^2+1{)}^3(a^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\pi \mathrm{ⓑ}\frac{(2a^2+1{)}^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\pi \mathrm{ⓒ}\frac{(2a^2+1{)}^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\pi$
$\mathrm{ⓓ}\frac{(2a^2+1{)}^3(4a^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\pi \mathrm{ⓔ}\frac{(4a^2+1{)}^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\pi \mathrm{ⓕ}\frac{(4a^2+1{)}^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\pi$
$\mathrm{ⓖ}\frac{(a^2+1{)}^2(4a^2+1{)}^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\pi \mathrm{ⓗ}\frac{(4a^2+1{)}^4}{480\sqrt{2}{a}^{\frac{7}{2}}}\pi \mathrm{ⓘ}\frac{(4a^2+1{)}^4}{120\sqrt{2}{a}^{\frac{7}{2}}}\pi$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$の解答群
$\mathrm{ⓐ}\frac{1}{\sqrt{5}} \mathrm{ⓑ}\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{ⓒ}1 \mathrm{ⓓ}\sqrt{2} \mathrm{ⓔ}\frac{2}{\sqrt{5}} \mathrm{ⓕ}4$

2021中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
a,bを実数の定数とする。また、xの関数$f(x)=x^3-ax+b$は
$a={\displaystyle {\int }_{-1}^1\{{\displaystyle \frac{3}{2}}b|x^2+x|-f(x)\}dx}$を満たすとする。
(1)bを、aを用いて表せ。
(2)y=f(x)で定まる曲線Ｃとx軸で囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。なお、必要があれば$\alpha <\beta$を満たす実数$\alpha ,\beta$に対して成り立つ公式
$a={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{12}}(\beta -\alpha {)}^4}$
を用いてもよい。

2023慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
'90弘前大学過去問題
$C:y=x^3-(a+3)x^2+3ax+5$
$L:y=3x-4$
CとLの共有点が2点のとき、CとLで囲まれる面積

問題文全文(内容文)：
青山学院大学過去問題
$C:y=x^2$
A(-1,1),B(4,16)
放物線C上にx座標が
$t(-1<t<4)$である点P
直線AB上にx座標がtである点Qととる。
△APQの面積の最大値とそのときのtの値