問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問

問題文全文(内容文)：
Ａ，Ｂの2人がそれぞれ1個のさいころを4回ずつ投げる。2人とも３または６の目が3回以上出る確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
海外旅行者 $100$ 人のうち、$75$ 人がカゼ薬を、$80$ 人が胃薬を携帯していた。次のような人は、最も多くて何人か。また少なくて何人か。

(1) カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人

(2) カゼ薬と胃薬を両方とも携帯してない人

問題文全文(内容文)：
A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。このカードをよく混ぜて1列に並べるとき、次のような場合の確率を求めよう。
(1)Aが右端にくる。
(2)AとEが両端にくる。
(3)BとCが隣り合う。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ nを自然数とする。A君とB君の2人が以下の試合Tをnセット行い、それぞれが得点をためていくとする。
試合T：2人で腕ずもうを繰り返し行う。毎回、A君, B君のどちらも勝つ確率は$\frac{1}{2}$ずつである。どちらかが先に2勝したら、腕ずもうを行うのをやめる。2勝0敗の者は2点を、2勝1敗の者は1点を得る。2勝しなかった者の得点は0点である。
A君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$a_n$とし、B君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$b_n$とする。
(1)n=1とする。$a_1$=2である確率は$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$a_1$=1である確率は$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)n≧4とする。試合Tをnセット行ううち、A君が2点を得るのがちょうど2セット、かつ1点を得るのがちょうど2セットである確率は$\frac{\boxed{\ \ う\ \ }}{\boxed{\ \ え\ \ }}$である。
(3)n≧2とする。$a_n$=$n$+2かつ$b_n$=0である確率は$\frac{\boxed{\ \ お\ \ }}{\boxed{\ \ か\ \ }}$である。
(4)$a_n$=2である確率は$\frac{\boxed{\ \ き\ \ }}{\boxed{\ \ く\ \ }}$である。
(5)n=4とする。$a_4$＞$b_4$である確率は$\frac{\boxed{\ \ け\ \ }}{\boxed{\ \ こ\ \ }}$である。

2023慶應義塾大学医学部過去問