福田の数学〜千葉大学2023年第9問〜関数の増減と最大Part1 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜千葉大学2023年第9問〜関数の増減と最大Part1

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{9}$ 関数$f(x)$と実数$t$に対し、$x$の関数$tx$-$f(x)$の最大値があればそれを$g(t)$と書く。
(1)$f(x)$=$x^4$のとき、任意の実数$t$について$g(t)$が存在する。この$g(t)$を求めよ。
以下、関数$f(x)$は連続な導関数$f''(x)$を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)$f'(x)$は増加関数、すなわち$a$<$b$ならば$f'(a)$<$f'(b)$
(ii)$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f'(x)$=$-\infty$ かつ $\displaystyle\lim_{x \to \infty}f'(x)$=$\infty$
(2)任意の実数$t$に対して、$x$の関数$tx$-$f(x)$は最大値$g(t)$を持つことを示せ。
(3)$s$を実数とする。$t$が実数全体を動くとき、$t$の関数$st$-$g(x)$は最大値$f(s)$となることを示せ。
単元: #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#接線と法線・平均値の定理#関数の変化(グラフ・最大最小・方程式・不等式)#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{9}$ 関数$f(x)$と実数$t$に対し、$x$の関数$tx$-$f(x)$の最大値があればそれを$g(t)$と書く。
(1)$f(x)$=$x^4$のとき、任意の実数$t$について$g(t)$が存在する。この$g(t)$を求めよ。
以下、関数$f(x)$は連続な導関数$f''(x)$を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)$f'(x)$は増加関数、すなわち$a$<$b$ならば$f'(a)$<$f'(b)$
(ii)$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f'(x)$=$-\infty$ かつ $\displaystyle\lim_{x \to \infty}f'(x)$=$\infty$
(2)任意の実数$t$に対して、$x$の関数$tx$-$f(x)$は最大値$g(t)$を持つことを示せ。
(3)$s$を実数とする。$t$が実数全体を動くとき、$t$の関数$st$-$g(x)$は最大値$f(s)$となることを示せ。
投稿日:2023.08.06

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 以下の問いに答えよ。
(1)整式$f(x)$=$a_nx^n$+$a_{n-1}x^{n-1}$+...+$a_1x$+$a_0$ ($a_0$≠0)に対し、
$f(x+1)$-$f(x)$=$b_nx^n$+$b_{n-1}x^{n-1}$+...+$b_1x$+$b_0$ ($a_0$≠0)
と表すとき、$b_n$と$b_{n-1}$を求めよ。
(2)整式$g(x)$が恒等式$g(x+1)$-$g(x)$=$(x-1)x(x+1)$および$g(0)$=0を満たすとき、$g(x)$を求めよ。
(3)整式$h(x)$が恒等式$h(2x+1)$-$h(2x)$=$h(x)$-$x^2$を満たすとき、$h(x)$を求めよ。
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問題文全文(内容文):
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単元: #微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
$f'(a)$が存在するとき、次の極限を$f(a),f'(a)$で表せ。
(1)$\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a+2h)}{h}$

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 座標平面上の点A(a,b)を1つ固定し、曲線y=x^2上の点P(x,x^2)と点A\\
との距離の2乗をg(x)とおく。関数y=g(x)のグラフが区間(-\infty,\infty)において下に凸\\
となるための条件はb \leqq \boxed{\ \ ア\ \ }\ となることである。b \gt \boxed{\ \ ア\ \ }\ のときy=g(x)のグラフは\\
2つの変曲点をもち、そのx座標は\ \boxed{\ \ イ\ \ }\ 及び\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ である。\\
ただし\boxed{\ \ イ\ \ }\lt \boxed{\ \ ウ\ \ }とする。また、関数y=g(x)が極小となるxがただ1つであるために\\
a,bが満たすべき条件をb \leqq F(a)と書くと、F(a)=\boxed{\ \ エ\ \ } である。\\
b= F(a)のとき、関数y=g(x)はx=\boxed{\ \ オ\ \ }において最小値をとる。\\
さらに、連立不等式x \geqq 0,\ y \geqq x^2が表す領域をDとするとき、\\
曲線y=F(x)のDに含まれる部分の長さLを求めると、L=\boxed{\ \ カ\ \ }である。
\end{eqnarray}

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