福田の数学〜千葉大学2023年第9問〜関数の増減と最大Part1

問題文全文(内容文)：

9

　関数

f (x)

と実数

t

に対し、

x

の関数

t x

f (x)

の最大値があればそれを

g (t)

と書く。
(1)

f (x)

x^{4}

のとき、任意の実数

t

について

g (t)

が存在する。この

g (t)

を求めよ。
以下、関数

f (x)

は連続な導関数

f^{″} (x)

を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)

f^{'} (x)

は増加関数、すなわち

a

＜

b

ならば

f^{'} (a)

＜

f^{'} (b)

(ii)

lim_{x \to - \infty} f^{'} (x)

- \infty

　かつ　

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

\infty

(2)任意の実数

t

に対して、

x

の関数

t x

f (x)

は最大値

g (t)

を持つことを示せ。
(3)

s

を実数とする。

t

が実数全体を動くとき、

t

の関数

s t

g (x)

は最大値

f (s)

となることを示せ。

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

9

　関数

f (x)

と実数

t

に対し、

x

の関数

t x

f (x)

の最大値があればそれを

g (t)

と書く。
(1)

f (x)

x^{4}

のとき、任意の実数

t

について

g (t)

が存在する。この

g (t)

を求めよ。
以下、関数

f (x)

は連続な導関数

f^{″} (x)

を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)

f^{'} (x)

は増加関数、すなわち

a

＜

b

ならば

f^{'} (a)

＜

f^{'} (b)

(ii)

lim_{x \to - \infty} f^{'} (x)

- \infty

　かつ　

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

\infty

(2)任意の実数

t

に対して、

x

の関数

t x

f (x)

は最大値

g (t)

を持つことを示せ。
(3)

s

を実数とする。

t

が実数全体を動くとき、

t

の関数

s t

g (x)

は最大値

f (s)

となることを示せ。

投稿日：2023.08.06

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福田の数学〜京都大学2023年理系第５問〜回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

Oを原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a),(b),(c)を満たしている。
(a)：点Pはx軸上にある。
(b)：点Qはyz平面上にある。
(c)：線分OPと線分OQの長さの和は1である。
点Pと点Qが条件(a),(b),(c)を満たしながらくまなく動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。

2023京都大学理系過去問

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【全ての問題は概要欄】大学入試問題#79　大阪大学(2020 改)　微分

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x

関数

f (x) = (x + 1)^{\frac{1}{x + 1}}

の最大値を求めよ。

出典：2020年大阪大学　入試問題

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第２問〜定積分と不等式

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
(1)定積分\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ。
(2)

x \neq 0

を満たすすべての実数xに対して、

e^{x} > 1 + x

と

e^{- x^{2}} < \frac{1}{1 + x^{2}}

が
成り立つことを証明せよ。
(3)

\frac{2}{3} < \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x < \frac{π}{4}

が成り立つことを証明せよ。

2022北里大学医学部過去問

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京都府採用試験数学【2016】

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
1. x+y+z=10の正の整数解の個数を求めよ。

2. 3つのサイコロを投げる。
出る目の最大値と最小値の差が2になる確率を求めよ。

3. 複素数

(\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2})^{2015} + (\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2})^{2015}

l o g_{2} 3

は無理数を示せ

5.

△ O A B = \frac{| a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |}{2}

を示せ
＊図は動画内参照

6. f(x)=e^x sinx
(1)

0 ≦ x ≦ π

y=f(x)の極大値を求めよ。

(2)x軸とy=f(x) (

0 ≦ x ≦ π

)で囲まれた面積を求めよ。

7.

\frac{1}{2015}, \frac{2}{2015}, \dots, \frac{2015}{2015}

のうち既約分数の個数を求めよ。

8.

n \in N

2 (\sqrt{n + 1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題033〜浜松医科大学2016年度理系第３問〜指数方程式の解の個数

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。なお、必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい。

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0

(1)方程式

2^{x} = x^{2} (x > 0)

の実数解の個数を求めよ。
(2)aを正の実数とし、xについての方程式

a^{x} = x^{a} (x > 0)

を考える。

(a)

方程式

a^{x} = x^{a} (x > 0)

の実数解の個数を求めよ。

(b)

方程式

a^{x} = x^{a} (x > 0)

でa,xがともに正の整数となるa,xの組

(a, x)

をすべて求めよ。ただし

a \neq x

とする。

2016浜松医科大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜千葉大学2023年第9問〜関数の増減と最大Part1

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