【高校数学】指数不等式が常に成り立つことの証明(置き換え&対称式の変形・平方完成)|福田のおもしろ数学581 - 質問解決D.B.(データベース)

【高校数学】指数不等式が常に成り立つことの証明(置き換え&対称式の変形・平方完成)|福田のおもしろ数学581

問題文全文(内容文):
$2^x + 3^x - 4^x + 6^x - 9^x \leqq 1$ が任意の実数 $x$ について成り立つことを証明してください。
チャプター:

00:00 問題の提示・考え方($2^x, 3^x$ への置き換え)
01:23 置き換え後の不等式の立式と変形
02:07 【解法1】1/2 で括るテクニックと平方完成
03:55 【解法2】1つの文字に着目する定石アプローチ
05:05 お知らせ・まとめ

単元: #数Ⅱ#式と証明#指数関数と対数関数#恒等式・等式・不等式の証明#指数関数#数学(高校生)
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$2^x + 3^x - 4^x + 6^x - 9^x \leqq 1$ が任意の実数 $x$ について成り立つことを証明してください。
投稿日:2025.08.05

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指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
以下の問いに答えよ。
(1)$x \gt 0$において、不等式$\log x \lt x $を示せ。
(2)$1 \lt a \lt b$のとき、不等式
$\frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b} \lt \frac{b-a}{a(\log a)^2}$
を示せ。
(3)$x \geqq e$において、不等式
$\int_e^x\frac{dt}{t\log(t+1)} \geqq \log(\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。

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問題文全文(内容文):
①$x^2-2x-1$で割ると、商が$2x-3$、余りが$-2x$になる整式は?

②$x^4-3x^3+2x^2-1$で割ると、商が$x^2+1$、余りが$3x-2$になる整式は?

③$2x^3+ax+10$で割ったときの余りが$-14$であるとき、定数$a$の値は?
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