福田の数学〜北里大学2021年医学部第３問〜関数の増減とはさみうちの原理による数列の極限

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問題文全文(内容文)：

3

関数

f (x) = x^{5} - 2 x^{3} + 9 x

について考える。実数

t

に対して

y = f (x)

上の点(

t, f (t)

)における接線と

x

軸の交点の

x

座標を

g (t)

とおく。
また、正の実数

t

に対して

h (t) = \frac{g (t)}{t}

とおく。次の問いに答えよ。
(1)

g (t)

を求めよ。
(2)

h^{'} (t) = 0

を満たす正の実数

t

を求めよ。
(3)実数

p

は、すべての正の実数

t

に対して|

h (t)

≦ p

を満たすとする。
このような

p

の最小値を求めよ。
(4)

a

を定数とする。

a_{1} = a, a_{n + 1} = g (a_{n})

(n = 1, 2, 3. . .)

で定められる数列

{a_{n}}

に対して、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

となることを示せ。

2021北里大学医学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

関数

f (x) = x^{5} - 2 x^{3} + 9 x

について考える。実数

t

に対して

y = f (x)

上の点(

t, f (t)

)における接線と

x

軸の交点の

x

座標を

g (t)

とおく。
また、正の実数

t

に対して

h (t) = \frac{g (t)}{t}

とおく。次の問いに答えよ。
(1)

g (t)

を求めよ。
(2)

h^{'} (t) = 0

を満たす正の実数

t

を求めよ。
(3)実数

p

は、すべての正の実数

t

に対して|

h (t)

≦ p

を満たすとする。
このような

p

の最小値を求めよ。
(4)

a

を定数とする。

a_{1} = a, a_{n + 1} = g (a_{n})

(n = 1, 2, 3. . .)

で定められる数列

{a_{n}}

に対して、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

となることを示せ。

2021北里大学医学部過去問

投稿日：2023.01.09

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
曲線

C : y = e^{x}

を考える。
(1)

a, b

を実数とし、

a ≧ 0

とする。曲線Cと直線

y = a x + b

が共有点をもつため
のaとbの条件を求めよ。
(2)正の実数tに対し、C上の点

A (t, e^{t})

を中心とし、直線

y = x

に接する円Dを
考える。直線

y = x

と円Dの接点Bのx座標は

タ

であり、
円Dの半径は

チ

である。線分ABを3:2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標
をそれぞれX(t),Y(t)とする。このとき、等式

lim_{t \to \infty} \frac{Y (t) - k X (t)}{\sqrt{{X (t)}^{2} + {Y (t)}^{2}}} = 0

が成り立つような実数kを定めると

k = ツ

である。
ただし、

lim_{t \to \infty} t e^{- t} = 0

である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東京大学1990

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 k + 1}}

とするとき、

lim_{n \to \infty} a_{n}, lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}

を求めよ。

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指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
無限等比級数の基礎と求め方を解説します。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

高　

f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

(x ≧ 0)

の逆関数をg(x)
(1)g(x)を求めよ。
(2)y=g(x),x=2,x軸で囲まれた面積

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約束記号　四天王寺

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指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

⟨ ⟨ x ⟩ ⟩ = 2 x - 1

とする

⟨ ⟨ ⟨ ⟨ 2 x ⟩ ⟩ - 1 ⟩ ⟩ = x^{2} + 10

x = ?

四天王寺高等学校

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