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'98一橋大学過去問題
すべての自然数nに対して$5^n+an+b$が16の倍数となるような
16以下の自然数a,bを求めよ。

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$\boxed{{\displaystyle 2}}$　xyz空間において、3点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)を通る平面${\pi }_1$と3点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面${\pi }_2$を考える。$x_0$=1,　$y_0$=2,　$z_0$=-2として、点P${}_0$($x_0$,$y_0$,$z_0$)から始めて、次の手順でP${}_1$($x_1$,$y_1$,$z_1$), P${}_2$($x_2$,$y_2$,$z_2$),... を決める。
・$k$が偶数のとき、${\pi }_1$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
・$k$が奇数のとき、${\pi }_2$上の点で点P${}_k$($x_k$,$y_k$,$z_k$)からの距離が最小となるものをP${}_{k+1}$($x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$)とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)${\pi }_2$に直交するベクトルのうち、長さが1で$x$成分が正のもの$n_2$を求めよ。
(2)$x_{k+1}$,$y_{k+1}$,$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k$,$y_k$,$z_k$を用いて表せ。
(3)${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k}$,　${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_k}$,　${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_k}$を求めよ。

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次の漸化式を解け。(すべて、$a_1=1$とする)

①$(n+1)a_{n+1}=n{a}_n+2$

②$n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+2$

③$(n+2)a_{n+1}=n{a}_n+2$

④$n{a}_{n+1}=(n+2)a_n+2$

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世界のナベアツを数学的に見てみた...

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数学$\text{III}$　極限(10)
$a_1=2, a_{n+1}=\sqrt{a_n+30}$　のとき、
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$　を調べよ。