問題文全文(内容文)：
$123123･･････123$のように$123$が繰り返し並ぶ数の中には必ず$2021$の倍数があることを示せ.

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第4問　
(1)$5^4=625$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

$5^4x-2^4y=1　\ldots①$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは$x=\boxed{\ \ ア\ \ },y=\boxed{\ \ イウ\ \ }$であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ エオ\ \ },　y=\boxed{\ \ カキク\ \ }$である。

(2)次に、$625^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りについて考えてみよう。
まず、
$625^2=5^{\boxed{ケ}}$
であり、また$m=\boxed{\ \ イウ\ \ }$とすると、$625^2=2^{\boxed{ケ}}\ m^2+2^{\boxed{コ}}\ m+1$である。
これらにより、$625^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
$5^5x-2^5y=1　\ldots②$
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。
$5^5x$は$5^5$の倍数であり、$2^5$で割った時の余りは1となる。よって(2)により、
$5^5x-625^2$は$5^5$でも$2^5$でも割り切れる。$5^5$と$2^5$は互いに素なので
$5^5x-625^2$は$5^5・2^5$の倍数である。このことから、②の整数解のうち、
xが3桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ サシス\ \ },　y=\boxed{\ \ セソタチツ\ \ }$
であることが分かる。

(4)$11^4$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
$11^5x-2^5y=1$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ テト\ \ },　y=\boxed{\ \ ナニヌネノ\ \ }$　である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$　$\triangle$ABCにおいて、BC=3,　AC=$b$,　AB=$c$,　$\angle$ACB=$\theta$とする。$b$と$c$を素数とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$b$=3,$c$=5　のとき、$\cos\theta$の値を求めよ。
(2)$\cos\theta$＜0　のとき、$c$=$b$+2　が成り立つことを示せ。
(3)$-\displaystyle\frac{5}{8}$＜$\cos\theta$＜$-\displaystyle\frac{7}{12}$　のとき、$b$と$c$の値の組をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
a,bは3で割り切れない整数とする。このとき、$a^4+a^2b^2+b^4$は3で割り切れることを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
$x,y \in \mathbb{N}$ , $7x+4y=175$
(1)(x,y)の個数
(2)|x-y|の最大値