福田のおもしろ数学243〜条件を満たす正の整数nの個数 - 質問解決D.B.(データベース)

福田のおもしろ数学243〜条件を満たす正の整数nの個数

問題文全文(内容文):
$\displaystyle
\sqrt{n^2+2^{100}}
$
が正の整数となるような正の整数nは何個あるか。
単元: #数A#整数の性質#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\displaystyle
\sqrt{n^2+2^{100}}
$
が正の整数となるような正の整数nは何個あるか。
投稿日:2024.09.01

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*図は動画内参照
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問題文全文(内容文):
$n$を$2$以上の自然数とする。自然数の組$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$を解とする方程式
$(*)~a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$を考える。
(1) $n=3$のとき、$(*)$の解$(a_1,a_2,a_3)$のうち、$a_1\leqq a_2 \leqq a_3$を満たすものをすべて求めよ。
(2) $n\geqq 3$のとき、$(*)$の任意の解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$が少なくとも1つ存在することを示せ。
(3) $(*)$のある解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$がちょうど2個存在しているとする。このとき、$n$のとりうる値を全て求めよ。
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