福田の数学〜慶應義塾大学2022年経済学部第4問〜空間ベクトルと四面体の体積 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜慶應義塾大学2022年経済学部第4問〜空間ベクトルと四面体の体積

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ tを実数とする。また、Oを原点とする座標空間内に\\
3点A(4,2,5),\ B(-1,1,1),\ C(2-t,4-3t,6+2t)をとる。\\
(1)\triangle OABの面積を求めよ。\\
(2)4点O,A,B,Cが同一平面上にあるとき、Cの座標を求めよ。\\
(3)点Cがxy平面上にあるとき、四面体OABCの体積Vを求めよ。\\
(4)四面体OABCの体積が(3)で求めたVの3倍となるようなtの値を\\
すべて求めよ。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学経済学部過去問
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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ tを実数とする。また、Oを原点とする座標空間内に\\
3点A(4,2,5),\ B(-1,1,1),\ C(2-t,4-3t,6+2t)をとる。\\
(1)\triangle OABの面積を求めよ。\\
(2)4点O,A,B,Cが同一平面上にあるとき、Cの座標を求めよ。\\
(3)点Cがxy平面上にあるとき、四面体OABCの体積Vを求めよ。\\
(4)四面体OABCの体積が(3)で求めたVの3倍となるようなtの値を\\
すべて求めよ。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学経済学部過去問
投稿日:2022.06.23

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問題文全文(内容文):
四面体OABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をL、点OCを3:1に内分する点をM、線分CLを3:2に内分する点をN、線分LMとONの交点をPとし、OA=a、OB=b、OC=cとするとき、OPをa,b,cで表せ。
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
${\large第4問}$
点$O$を原点とする座標空間に2点
$A(3, 3, -6),$ $B(2+2\sqrt3,$ $2-2\sqrt3, -4)$
をとる。3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とする。また、$\alpha$に含まれる点$C$は

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC },$ $\overrightarrow{ OB }・\overrightarrow{ OC }=24$ $\cdots$①

を満たすとする。

(1) $|\overrightarrow{ OA }|=\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }},$ $|\overrightarrow{ OB }|=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ オカ\ \ }$である。

(2)点$C$は平面$\alpha$上にあるので、実数$s,$ $t$を用いて、$\overrightarrow{ OC }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$と
表すことができる。このとき、①から$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},$ $t=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
したがって、$|\overrightarrow{ OC }|=\boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。

(3)$\overrightarrow{ CB }=\left(\boxed{\ \ ス\ \ }, \boxed{\ \ セ\ \ }, \boxed{\ \ ソタ\ \ }\right)$である。したがって、平面$\alpha$上の
四角形$OABC$は$\boxed{\ \ チ\ \ }$。
$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、次の⓪~④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC }$であるので、四角形$OABC$の面積は$\boxed{\ \ ツテ\ \ }$である。

(4)$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OD },$ $\overrightarrow{ OC }・\overrightarrow{ OD }=2\sqrt6$かつ$z$座標が1であるような点$D$の座標は
$\left(\boxed{\ \ ト\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ナ\ \ }}}{\boxed{\ \ ニ\ \ }}, \boxed{\ \ ヌ\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }}}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}, 1\right)$
である。このとき$\angle COD=\boxed{\ \ ハヒ\ \ }°$である。
3点$O,C,D$の定める平面を$\beta$とする。$\alpha$と$\beta$は垂直であるので、三角形
$ABC$を底面とする四面体$DABC$の高さは$\sqrt{\boxed{\ \ フ\ \ }}$である。したがって、
四面体$DABC$の体積は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$ である。

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