問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面において,第一象限に属する点P$(\sqrt2 r,\sqrt3 s)$(r,sは有理数)をとるとき,線分OPの長さは無理数となることを示せ.

慈恵医大過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,　a \geqq b \geqq c \geqq d \geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{\ \ ア\ \ },　\boxed{\ \ イ\ \ },　\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ })$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{\ \ オ\ \ }$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{\ \ カ\ \ }$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{\ \ カ\ \ }$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{\ \ キ\ \ }$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{\ \ カ\ \ }$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{\ \ クケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ },　\boxed{\ \ サ\ \ },　\boxed{\ \ シ\ \ })$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{\ \ オ\ \ }$個であるものの個数は$\boxed{\ \ ス\ \ }$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{\ \ セソタ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$N=3n^2+72n+260$
Nと2023の差が最も小さくなるような自然数nは？

2023早稲田大学 高等学院

問題文全文(内容文)：
すべての自然数$n$について$7^n+an+b$が$36$の倍数となる$36$以下の自然数$a,b$を求めよ.

一橋大(類)過去問

問題文全文(内容文)：
4⃣$N=\mathbb{ p }^n×5^n$
(1)正の約数の個数が8個
(2)正の約数の総和が90のとき、$\mathbb{ p }$とNを求めよ。