大学入試問題#621「これは、ぜひ挑戦してほしい」防衛医科大学(2016) #極限

大学入試問題#621「これは、ぜひ挑戦してほしい」　防衛医科大学(2016)　#極限

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} {\frac{2 x - 2}{2 x - 1} - \frac{2}{(2 x - 1)^{2}}}^{3 x}

出典：2016年防衛医科大学　入試問題

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#防衛医科大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} {\frac{2 x - 2}{2 x - 1} - \frac{2}{(2 x - 1)^{2}}}^{3 x}

出典：2016年防衛医科大学　入試問題

投稿日：2023.10.15

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 数 学 III 三 角 関 数 の 極 限 (7) \\ lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 \sin x)}{3 x (1 + 2 x)} を 求 め よ 。 \end{array}

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

C

：定数　

- 1 < C < 1

すべての実数

x

に対して

f (x) + f (c x) = x^{2}

を満たす連続関数

f (x)

を求めよ

出典：2017年早稲田大学　入試問題

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
第3問
放物線y=

x^{2}

のうち-1≦x≦1を満たす部分をCとする。
座標平面上の原点Oと点A(1,0)を考える。k＞0を実数とする。点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき

\vec{O R}

\frac{1}{k} \vec{O P}

k \vec{O Q}

を満たす点Rが動く領域の面積をS(k)とする。
S(k)および

lim_{k \to + 0} S (k)

lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は区間

x ≧ 0

において連続な増加関数で

f (0) = 1

を満たすとする。
ただしf(x)が区間

x ≧ 0

における増加関数であるとは、区間内の任意の実数

x_{1}, x_{2}

に対し

x_{1} < x_{2}

ならば

f (x_{1}) < f (x_{2})

が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。
(1)

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = \infty

　を示せ。
(2)区間

y > 2

において関数

F_{n} (y)

を

F_{n} (y) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{f (x)}{2 - x} d x

と定めるとき、

lim_{y \to \infty} F_{n} (y) = \infty

を示せ。また

2 + \frac{1}{n}

より大きい実数

a_{n}

で

\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x + \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a_{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = 0

を満たすものがただ1つ存在することを示せ。
(3)(2)の

a_{n}

について、不等式

a_{n} < 4

がすべてのnに対して成り立つことを示せ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} (\sqrt{4 n^{2} + 7 n} - 2 \sqrt{n^{2} + 2 n})

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