問題文全文(内容文)：
自然数（２以上）の立方の逆数の和 が1/4未満であることを示せ.

大阪大学過去問

問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ 5 }$が無理数であることを証明せよ

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。\\
f(x)を整式とする。F'(x)=f(x)となるF(x)を1つ選び、\\
f(x)のaからbまでの定積分を\\
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)　　　　　　　　　\ldots①\\
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。\\
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。\\
(A)\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx\\
(B) a \leqq c \leqq bのとき、\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx\\
(C)区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \geqq h(x)ならば、\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx\\
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。\\
以下、f(x)が区間0 \leqq x \leqq 1上で増加関数になる場合を考える。\\
nを自然数とする。定積分の性質\boxed{\ \ ア\ \ }を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、\\
\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②\\
が成り立つことがわかる。S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})とおくと、\\
不等式②と定積分の性質\boxed{\ \ イ\ \ }より次の不等式が成り立つ。\\
0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③\\
よって、nを限りなく大きくするとS_nは\int_0^1f(x)dxに限りなく近づく。\\
\\
\\
(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)が\\
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)でk=l=1とした場合の等式\\
\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx　を示せ。\\
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。\\
a \lt bのとき、区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \gt 0ならば、\int_a^bg(x)dx \gt 0\\
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ ア\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、\\
不等式②を示せ。\\
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ イ\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。\\
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
次の等式が$x$についての恒等式になるように，定数$a，b$の値を定めよ。

$\displaystyle \frac{4x+7}{(x-2)(2x+1)}=\displaystyle \frac{a}{x-2}+\displaystyle \frac{b}{2x+1}$

問題文全文(内容文)：
$ (1)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}\geqq 6を示せ.
(2)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}の最小値を求めよ.
(3)x \gt 0のとき,x+\dfrac{6}{x+1}の最小値を求めよ.
(4)x \gt 0のとき,\dfrac{x^2;5x+15}{x+2}の最小値を求めよ.
(5)a \gt 0,b \gt 0のとき\left(a+\frac{1}{b} \right)\left(\frac{16}{a}+b \right)の最小値
を求めよ.$