問題文全文(内容文)：
次の問題
問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が
終了する確率 $p_n$を求めよ。
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解の$p_n$とで値が異なるとき、値が異なる最小のnを
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは
「すべて一致する」と答えよ。

答案A
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために
必要な回数がk回($k\geqq 0$)である確率を$p_n(k)$とする。このとき、
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は
$p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1$
である。また、$p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}{p}_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}{p}_n(2)$であるから漸化式
$p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1 (n\geqq 1)$
を得る。ここで$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$なので、$q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})$とすれば
$q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0$
である。よって$n\geqq 4$に対して
$q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}$
が成立する。以上より、
$Q(x)=\{\begin{array}{}{q}_1 (n\mathrm{を}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{り}\mathrm{が}1\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き})\\ q_2 (n\mathrm{を}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{り}\mathrm{が}2\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き})\\ q_3 (n\mathrm{が}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{り}\mathrm{切}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{き})\end{array}$
とすれば求める確率は
$p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7} (n\geqq 4)$
である。また最初の2項は定義より$p_1=p_2=0$であり$p_n$の漸化式で$n=1$とすれば
$p_1+2p_2+4p_3=1$　であるから$p_3=\frac{1}{4}$である。さらに
$q_1=-\frac{2}{7}, q_2=-\frac{4}{7}, q_3=\frac{6}{7}$
である。したがって
$p_1=p_2=0, p_3=\frac{1}{4}, p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7} (n\geqq 4)$
となる。

2022浜松医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
実数$x$に対し、$[x]$を$x$以下の最大の整数とする。
たとえば、$[2]=2,\left[{\displaystyle \frac{7}{5}}\right]=1$である。
数列$\{a_n\}$を$a_k=\left[{\displaystyle \frac{3k}{5}}\right](k=1,2,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})$と定めるとき、以下の問いに答えよ。
（1）$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$を求めよ。
（2）$a_{k+5}=a_k+3(k=1,2,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・})$を示せ。
（3）自然数$n$に対して、${\displaystyle \sum _{k=1}^{5n}{a}_k}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ sを実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_1$=s, (n+2)$a_{n+1}$=n$a_n$+2　(n=1,2,3,...)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1)$a_n$をnとsを用いて表せ。
(2)ある正の整数$m$に対して、${\displaystyle \sum _{n=1}^m{a}_n}$=0が成り立つとする。sをmを用いて表せ。

2023東北大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$a_1=1$
$a_n=-2S_n{S}_{n-1}$
$(n=2,3\dots )$

（1）
$a_2,a_3$を求めよ

（2）
$0<S_n\leqq 1$を示せ

（3）
$a_n$を求めよ

出典：2008年宇都宮大学　過去問

問題文全文(内容文)：
次の数列の一般項を求めよ。
$2,4,7,13,24,42,69,107,158,\cdots$

次の和を求めよ。
(1)${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}}$
(2)${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+2k}}$
(3)${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$