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素数が無数に存在する証明　その1

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第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1)横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1(※動画参照)のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}$である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}\mathrm{オ}\mathrm{カ}}}$のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}\mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$のものである。
(2)花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2(※動画参照)のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$のものであり、図2のような長方形は縦の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$であり、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$の倍数のうちで$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$の倍数でもある最小の正の整数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}\mathrm{ト}\mathrm{ナ}}}$である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$のものであることがわかる。

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