問題文全文(内容文)：
$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c(c>0)$は$(c,0)$で$x$軸と接する。
$f(x)$と$x$軸とで囲まれる面積が最小となる$c$の値を求めよ

出典：2018年九州大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$y=x^2-4x+2a^3$,y=-x^2+2a^2(0\leqq a\leqq 1)$
囲まれた面積の最大値を求めよ.

鳴門教育大過去問

問題文全文(内容文)：
医療で使われる技術の1つとして、磁気共鳴画像法 (MRI) がある。
MRI は画像の濃淡を表す関数、例えば

$M(x)={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n(x)}$　(xは実数)

を用いて体内の様子を可視化する技術である。 ここで $I_n(x)$ は

$I_n(x)={\displaystyle {\int }_{０}^{ｎ}{e}^{-t}cos(tx)dt}$
(n=1, 2, 3, ...)である。以下の問いに答えよ。

(1) 定積分$I_n(x)$を求めよ。

(2) $M(x)={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n(x)}$ を求めよ

2023浜松医科大学医過去問


(3) 関数 $y=M(x)$ について、増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}2\mathrm{問}$
(1)座標平面上で、次の二つの2次関数のグラフについて考える。
$y=3x^2+2x+3$　$\cdots$①
$y=2x^2+2x+3$　$\cdots$②

①、②の2次関数のグラフには次の共通点がある。

共通点
・$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。
・$y$軸との交点における接線の方程式は$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$である。

次の⓪～⑤の2次関数のグラフのうち、$y$軸との交点における接線の方程式
が$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$となるものは$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$の解答群
⓪$y=3x^2-2x-3$
①$y=-3x^2+2x-3$
②$y=2x^2+2x-3$
③$y=2x^2-2x+3$
④$y=-x^2+2x+3$
⑤$y=-x^2-2x+3$

$a,b,c$を$0$でない実数とする。
曲線$y=a{x}^2+bx+c$上の点$(0, \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})$における接線をlとすると
その方程式は$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$である。

接線$l$と$x$軸との交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$である。
$a,b,c$が正の実数であるとき、曲線$y=a{x}^2+bx+c$と接線lおよび直線
$x={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$で囲まれた図形の面積をSとすると
$S={\displaystyle \frac{a{c}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}{b}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}}$　$\cdots$③
である。

③において、$a=1$とし、$S$の値が一定となるように正の実数$b,c$の値を
変化させる。このとき、$b$と$c$の関係を表すグラフの概形は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$る。


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
(※選択肢は動画参照)

(2)座標平面上で、次の三つの3次関数のグラフについて考える。
$y=4x^3+2x^2+3x+5$　$\cdots$④
$y=-2x^3+7x^2+3x+5$　$\cdots$⑤
$y=5x^3-x^2+3x+5$　$\cdots$⑥

④、⑤、⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。
共通点
・$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。
・$y$軸との交点における接線の方程式は$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$である。

$a,b,c,d$を$0$でない実数とする。
曲線$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$上の点$(0, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}})$における接線の
方程式は$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}$である。

次に、$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$　$g(x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}$とし、
$f(x)-g(x)$について考える。

$h(x)=f(x)-g(x)$とおく。$a,b,c,d$が正の実数であるとき、$y=h(x)$
のグラフの概形は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$である。

$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$
と$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}$である。また、$x$が${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$と$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}$の間を動くとき、
$|f(x)-g(x)|$の値が最大となるのは、$x={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}\mathrm{ヒ}\mathrm{フ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}\mathrm{ホ}}}}}$のときである。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
(※選択肢は動画参照)

2021共通テスト過去問