問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

$k$を実数とする。

$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+1$に対して、

座標平面上の曲線$C$を$C:y=f(x)$とする。

また、$C$上の点$P(1,1)$を通り、

傾きが$k$である直線を$\ell$とする。

このとき、次の問いに答えよ。

(1)$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ。

(2)$f(x)$の導関数$f'(x)$を求めよ。

(3)$f(x)$の極値を求めよ。

また、そのときの$x$の値を求めよ。

(4)$\ell$と$C$がちょうど$2$個の共有点を

もつような$k$の値を求めよ。

(5)$\ell$と$C$が異なる$3$個の共有点をもつような

$k$の値の範囲を求めよ。

(6)(5)のとき、異なる$3$個の共有点の$y$座標を

小さい方から順に$y_1,y_2,y_3$とする。

このとき、

比の等式$(y_2-y_1):(y_3-y_2)=1:2$を

満たすような$k$の値を求めよ。

$2025$年立教大学経済学部過去問題

問題文全文(内容文)：
【東北大学 2024】
$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C:x^2+y^2=1$および円板$D:x²+y²≦1$を考える。$D$を底面とし点$P(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする。$A(0,-1,0),B(0,1,0)$とする。$xyz$空間内の平面$H:z=x$を考える。すなわち、$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$AB$をともに含む平面である。$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする。$\displaystyle -\frac{π}{2}≦θ≦\frac{π}{2}$を満たす実数$θ$に対し、円$C$上の点$Q(cosθ,sinθ,0)$をとり、線分$PQ$と$E$の共有点を$R$とする。
(1) 線分$PR$の長さを$r(θ)$とおく。$r(θ)$を$θ$を用いて表せ。
(2)円錐$K$の側面のうち、曲線$E$の点$A$から点$R$までを結ぶ部分、線分$PA$,および線分$PR$により囲まれた部分の面積を$S(θ)$とおく。$θ$と実数$h$が条件$\displaystyle 0≦θ＜θ+h≦\frac{π}{2}$を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle \frac{h\{{r(θ)}\}^2}{2\sqrt{2}}≦S(θ+h)-S(θ)≦\frac{h\{{r(θ+h)\}}^2}{2\sqrt{2}}$
(3) 円錐$K$の側面のうち、円$C$の$x≧0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく。$T$を求めよ。必要であれば$\displaystyle tan\frac{θ}{2}=u$とおく置換積分を用いてもよい。

問題文全文(内容文)：
複素数$a,b,c$に対して整式$f(z)=az^2+bz+c$を考える。iを虚数単位とする。$f(0),f(1),f(i)$がいずれも1以上2以下の実数であるとき、$f(2)$のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

問題文全文(内容文)：
（1）
$f(x)$連続
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\ f(\sin\ x)dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(\sin\ x) dx$


（2）
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{x(a^2-4\cos^2\ x)\sin\ x}{a^2-\cos^2x} dx$

出典：2013年埼玉大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
弘前大学過去問題
$n^5-n$は30の倍数であることを示せ。

千葉大学過去問題
$2^n-1$が素数ならnは素数であることを示せ。