問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 複素数平面上に2点A(1), B($\sqrt 3 i$)がある。ただし、$i$は虚数単位である。
複素数zに対し$w$=$\frac{3}{z}$で表される点$w$を考える。以下の問いに答えよ。
(1)z=1, $\frac{1+\sqrt 3i}{2}$, $\sqrt 3 i$のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2)実数tに対し、z=(1-t)+t$\sqrt 3 i$とする。$\alpha$=$\frac{3-\sqrt 3 i}{2}$について、$\alpha z$の実部を求め、さらに($w-\alpha$)($\bar{w-\alpha}$)を求めよ。
(3)wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a,\ h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,\ y)$とする
と、$x,\ y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{ア})\ x^2+2\ \boxed{イ}\ x+y^2=\boxed{ウ}...(1)$

$\boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$の解答群
$⓪a^2 ①h^2 ②a^3 ③a^2h ④ah^2$
$⑤h^3 ⑥b^4 ⑦a^2h^2 ⑧ah^3 ⑨h^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\ \theta)$とする。$r \leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,\ y)$を$a,\ h,\ θ$を用いて表すと

$(x,\ y)=(\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \sin θ)...(2) $
$\boxed{エ},\ \boxed{オ}$の解答群
$⓪h①ah②h^2③ah^2④1+a\cos θ$
$⑤1+a\sin θ ⑥a\cos θ-1⑦a\sin θ-1⑧1-a\cos θ ⑨1-a\sin θ$

(1)から、$a=\boxed{カ}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2\int_0^{\boxed{ケ}}xdy=2\int_0^{\boxed{ケ}}(\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク})dy=$
$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}\ h^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}$

$\boxed{キ},\ \boxed{ク},\ \boxed{ケ}$の解答群
$⓪h ①2h ②\frac{h}{2} ③-\frac{h}{2} ④\frac{1}{h}$
$⑤-\frac{1}{h} ⑥\frac{1}{2h} ⑦-\frac{1}{2h} ⑧h^2 ⑨-h^2$

2022明治大学全統理系過去問

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
(1)定積分\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ。
(2)$x≠0$を満たすすべての実数xに対して、$e^x \gt 1+x$と$e^{-x^2} \lt \frac{1}{1+x^2}$が
成り立つことを証明せよ。
(3)$\frac{2}{3} \lt \int^1_0e^{-x^2}dx \lt \frac{\pi}{4}$が成り立つことを証明せよ。

2022北里大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
6⃣ 円 : $x^2+y^2=1$上に図のように点Pをとる。
AP+PH
の最大値と、そのときの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数$f(x)$は閉区間$[a,b]$で連続で、開区間$(a,b)$で微分可能であるとする。
平均値の定理の式
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),a< c< b$
において
$b-a=h, \dfrac{c-a}{b-a}=\theta$とおくと
$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h),0 < \theta < 1$
と表されることを示せ。