問題文全文(内容文)：
内積の公式に関して解説していきます。

問題文全文(内容文)：
平行四辺形$ABCD$において、対角線の交点を$E$、辺$CD$上の点で$CF:FD=2:3$を満たす点を$F$とする。
$\overrightarrow{ AB }=\vec{ b },\overrightarrow{ AD }=\vec{ d },\overrightarrow{ AE }=\vec{ e },\overrightarrow{ AF }=\vec{ f }$とするとき、$\vec{ b },\vec{ d }$を$\vec{ e },\vec{ f }$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
問題1
$\triangle \rm{ABC}$において、$\rm{AB}=3,AC=2, \angle A=60^{ \circ }$，外心を$\rm{O}$とする。$\overrightarrow{{\textrm{AB}}}=\vec{b},\overrightarrow{{\textrm{AC}}}=\vec{c}$とするとき、$\overrightarrow{{\textrm{AO}}}$を$\vec{b},\vec{c}$を用いて表せ。

問題2
平行四辺形$\rm{ABCD}$において、次の等式が成り立つことを証明せよ。
$\rm{2(AB^2+BC^2)＝AC^2＋BD^2}$

問題3
$\triangle \rm{ABC}$の辺$\rm{BC}$を1:2に内分する点を$\rm{D}$とする。このとき、等式$\rm{2AB^2+AC^2=3(AD^2+2BD^2)}$が成り立つことを証明せよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

四面体$OABC$において、

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。

点$D$は

$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、

四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。

(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。


(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、

$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、

線分$OD$の長さを求めよ。

$2025$年東北大学文系過去問題

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$\boxed{4}$

原点を$O$とする座標空間内の

$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して

$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$

で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。

$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、

その中心と原点との距離が最小となるものを

$C$とする。

円$C$の中心の座標を求めよ。

$2025$年一橋大学文系過去問題