福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(3)〜線分の通過範囲の面積 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(3)〜線分の通過範囲の面積

問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{3}}$ (3)$a$を定数とする。座標平面上の直線$y$=2$ax$+$\frac{1}{4}$と放物線$y$=$x^2$の2つの交点を$P_1$, $P_2$とする。$a$が0≦$a$≦1の範囲を動くとき、線分$P_1P_2$の通過する部分の面積は$\frac{\boxed{\ \ ル\ \ }}{\boxed{\ \ レ\ \ }}$である。
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#面積、体積#上智大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{3}}$ (3)$a$を定数とする。座標平面上の直線$y$=2$ax$+$\frac{1}{4}$と放物線$y$=$x^2$の2つの交点を$P_1$, $P_2$とする。$a$が0≦$a$≦1の範囲を動くとき、線分$P_1P_2$の通過する部分の面積は$\frac{\boxed{\ \ ル\ \ }}{\boxed{\ \ レ\ \ }}$である。
投稿日:2023.09.12

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福田の数学〜慶應義塾大学2022年経済学部第6問〜定積分で表された関数と面積の2等分

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ 関数F(x)=\frac{1}{2}+\int_0^{x+1}(|t-1|-1)dtに対し、\\
y=F(x)で定まる曲線をCとする。\\
(1)F(x)を求めよ。\\
(2)Cとx軸の共有点のうち、x座標が最小の点をP、最大の点をQ\\
とする。PにおけるCの接線をlとするとき、Cとlで囲まれた図形の面積Sを求めよ。\\
また、Qを通る直線mがSを2等分するとき、lとmの交点Rの座標を求めよ。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学経済学部過去問
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#名古屋工業大学2020#定積分_15#元高校教員

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指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{0}^{1} x(x^2+1)^4 dx$

出典:2020年名古屋工業大学
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大学入試問題#909「基本に忠実に」 前橋工科大学(2023)

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指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{ 3 }} (x^7-3x^3)e-\displaystyle \frac{x^4}{4}$ $dx$

出典:2023年前橋工科大学
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福田の数学〜九州大学2022年文系第4問〜定義に従って定積分の性質を証明する

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#九州大学
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。\\
f(x)を整式とする。F'(x)=f(x)となるF(x)を1つ選び、\\
f(x)のaからbまでの定積分を\\
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)         \ldots①\\
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。\\
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。\\
(A)\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx\\
(B) a \leqq c \leqq bのとき、\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx\\
(C)区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \geqq h(x)ならば、\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx\\
ただし、f(x),g(x),h(x)は整式、k,lは定数である。\\
以下、f(x)が区間0 \leqq x \leqq 1上で増加関数になる場合を考える。\\
nを自然数とする。定積分の性質\boxed{\ \ ア\ \ }を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、\\
\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})  (i = 1,2,\ldots,n)     \ldots②\\
が成り立つことがわかる。S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})とおくと、\\
不等式②と定積分の性質\boxed{\ \ イ\ \ }より次の不等式が成り立つ。\\
0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}     \ldots③\\
よって、nを限りなく大きくするとS_nは\int_0^1f(x)dxに限りなく近づく。\\
\\
\\
(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)が\\
成り立つことと定積分の定義①を用いて、性質(A)でk=l=1とした場合の等式\\
\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx を示せ。\\
(2)定積分の定義①と関数の増減と導関数の関係を用いて、次を示せ。\\
a \lt bのとき、区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \gt 0ならば、\int_a^bg(x)dx \gt 0\\
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ ア\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、\\
不等式②を示せ。\\
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ イ\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。\\
\end{eqnarray}

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#福島大学
指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$\displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{ 1-x }$ $dx$

出典:2024年福島大学
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