問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{1}{2! 17!} $$\displaystyle + \frac{1}{3! 16!} $$\displaystyle + \frac{1}{4! 15!}$$+ \cdots $$\displaystyle + \frac{1}{9! 10!} $$\displaystyle = \frac{N}{1! 18!}$ を満たす $N$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a,b,c,d$：正の実数
$\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[ 4 ]{ abcd }$を示せ

出典：2012年新潟大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
◎次の等式がx,yの恒等式となるように、定数a、b、cの値を定めよう。

①$(a+2b)x+(2a+3b-3)y+(b-3c)=0$

②$x^2+y^2=a(x+y)^2+b(x-y)^2$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

次の問いに答えよ。

(1)$t\gt 0$のとき

$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$

が成り立つことを示せ。

(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。

(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$

を示せ。

$2025$年大阪大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：

$a\gt 0,b\gt 0,c\gt 0,abc=1$のとき、

$\dfrac{a}{ab+1}+\dfrac{b}{bc+1}+\dfrac{c}{ca+1} \geqq \dfrac{3}{2}$

を証明して下さい。