問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$

$0\lt p\lt 1$とする。

表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である

$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。

・ゲームの開始時点で点数は$0$点

・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
　裏が出たときは点数はそのまま

・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。

$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに

$n$点となっている確率を$Q_n$とする。

(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。

(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。

(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が

成り立つことを示せ。

$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$

必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを

証明なしで使ってもよい。

(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ nを自然数とする。A君とB君の2人が以下の試合Tをnセット行い、それぞれが得点をためていくとする。
試合T：2人で腕ずもうを繰り返し行う。毎回、A君, B君のどちらも勝つ確率は$\frac{1}{2}$ずつである。どちらかが先に2勝したら、腕ずもうを行うのをやめる。2勝0敗の者は2点を、2勝1敗の者は1点を得る。2勝しなかった者の得点は0点である。
A君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$a_n$とし、B君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$b_n$とする。
(1)n=1とする。$a_1$=2である確率は$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$a_1$=1である確率は$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)n≧4とする。試合Tをnセット行ううち、A君が2点を得るのがちょうど2セット、かつ1点を得るのがちょうど2セットである確率は$\frac{\boxed{\ \ う\ \ }}{\boxed{\ \ え\ \ }}$である。
(3)n≧2とする。$a_n$=$n$+2かつ$b_n$=0である確率は$\frac{\boxed{\ \ お\ \ }}{\boxed{\ \ か\ \ }}$である。
(4)$a_n$=2である確率は$\frac{\boxed{\ \ き\ \ }}{\boxed{\ \ く\ \ }}$である。
(5)n=4とする。$a_4$＞$b_4$である確率は$\frac{\boxed{\ \ け\ \ }}{\boxed{\ \ こ\ \ }}$である。

2023慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{A}$　確率(11)　反復試行(5)
格子点上を次の規則で点$\textrm{P}$が動く。
$(\textrm{a})$最初、点$\textrm{P}$は原点にある。
$(\textrm{b})$ある時刻で点$\textrm{P}$が(m,n)にあるとき、その1秒後の点$\textrm{P}$の位置は等確率で
$(m+1,n),　(m,n+1),　(m,n-1),　(m-1,n)$である。
6秒後に点$\textrm{P}$が直線$y=x$上にある確率を求めよ。

東京大学過去問

問題文全文(内容文)：
3人でジャンケンをして勝者をきめることにする。たとえば，1人が"紙"を出し， 他の2人が”石"を出せば，ただ1回でちょうど1人の勝者がきまることになる。　
3 人でジャンケンをして，負けた人は次の回に参加しないことにして，ちょうど1 人の勝者がきまるまで，ジャンケンをくり返すことにする。　
このとき，n回目 に，はじめてちょうど1人の勝者がきまる確率を求めよう。

問題文全文(内容文)：
下記質問の解説動画です
街中の人に「あなたは佐藤さんですか？」って聞いて的中する確率は？