【数Ⅱ】式と証明：相加相乗平均の使い方その①

【数Ⅱ】式と証明：相加相乗平均の使い方　その①

問題文全文(内容文)：

a > ０

のとき（１）

a ＋ \frac{9}{a}

（２）

a ＋ \frac{16}{a + 2}

（３）

3 a ＋ \frac{1}{a}

　の最小値をそれぞれ求めよ。

チャプター：

0:00 オープニング
0:22 概要説明
0:46 証明！
2:05 ★point★
2:55 問題に入る前の使い方
4:02 この形に変形する理由
4:58 （１）！！
6:12 （２）！！足して引いて
8:08 ２つ解が出てくるが…？
8:32 （３）！！分母分子に同じ数
9:16 あとは（１）（２）と同じ流れ
9:50 エンディング

単元： #数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

a > ０

のとき（１）

a ＋ \frac{9}{a}

（２）

a ＋ \frac{16}{a + 2}

（３）

3 a ＋ \frac{1}{a}

　の最小値をそれぞれ求めよ。

投稿日：2021.11.13

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指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
多項式

(x^{100} + 1)^{100} + (x^{2} + 1)^{100} + 1

は多項式

x^{2} + x + 1

で割り切れるか。

京都大過去問

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福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第１問〜整式の割り算の商に関する論証

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

nを自然数として、整式

(3 x + 2)^{n}

を

x^{2}

x

+1で割った余りを

a_{n} x

b_{n}

とおく。
(1)

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

を、それぞれ

a_{n}

と

b_{n}

を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、

a_{n}

と

b_{n}

は7で割り切れないことを示せ。
(3)

a_{n}

と

b_{n}

を

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

で表し、全てのnに対して、2つの整数

a_{n}

と

b_{n}

は互いに素であることを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2022年薬学部第２問〜二項定理と数列の部分和

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

の初項から第n項までの和

S_{n}

、数列

{b_{n}}

の初項から第n項までの和

T_{n}

はそれぞれ

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}_{n} C_{k}, T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k ・_{n} C_{k}

で表される。
(1)

x > y ≧ 1

を満たす自然数x,yについて、

_{x} C_{y} =_{x - 1} C_{y} +_{i} C_{j}, y ・_{x} C_{y} = x ・_{p} C_{q},

が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、

i = ス, j = セ,

p = ソ, q = タ

である。
(2)

a_{2}, b_{4}

の値をそれぞれ求めると

a_{2} = チ, b_{4} = ツ

である。
(3)

S_{n}, a_{n}

をそれぞれnの式で表すと、

S_{n} = テ, a_{n} = ト

である。
(4)

b_{n}

をnの式で表すと、

b_{n} = ナ

である。

2022慶應義塾大学薬学部過去問

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福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明の考察３（受験編）

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

\frac{a + b + c + d}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c d}

　を既知として、

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}

　を証明せよ。
ただし、

a, b, c, d

は全て正の数であるとする。

2 1

を利用して、

n

個の変数の相加・相乗平均の関係を証明せよ。
つまり、

n

個の正の数

a_{1}, a_{2}, \cdot, a_{n}

に対して

\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

≧ \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}

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問題文全文(内容文)：

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慶應義塾高等学校

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