問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)$AB＝5,BC＝7,CA＝6$の三角形$ABC$がある。$\cos \mathrm{\angle }BAC$の値と三角形$ABC$の外接円の半径を求めよ。
(2)$a$は実数の定数とする。$x$の2次方程式$x^2-2ax+5a-6=0$が異なる2つの正の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(3)方程式$x^3-4x^2+8=0$を解け。
(4)$m$は実数の定数とする。座標平面における原点$O$と直線$y=mx+m+2$の距離が2より大きくなるようなmの値の範囲を求めよ。
(5)実数$x$が、$2^x+2^{-x}=3$を満たしている。$4^x+4^{-x}$の値を求めよ。
(6)方程式${\log }_4(5x-1)=lo{g}_2(2x-1)$を解け。
大問2：三角関数
(1)$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}},\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ。
(2)$O$を原点とする$xy$平面上に$O$を中心とする半径1の円$E$があり、$E$上に3点$A(0,-1),B(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),C({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$がある。また、$E$の上に点$P$をとり、$P(\cos \theta ,\sin \theta )(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき、$L$を$L＝A{P}^2＋B{P}^2+C{P}^2$と定める。
(i)$L$を$\theta$で表せ。
(ii)$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を変化するとき、$L$の最大値、最小値とそれを与える$\theta$の値を求めよ。
大問3：場合の数
1,2,3,4,5,6,7,8,9の9枚のカードを$A,B,C$の3人に3枚ずつ配る。
(1)カードの配り方は全部で何通りあるか。
(2)$A$のカードの番号がいずれも2の倍数であるような3人への配り方は何通りあるか。
(3)$A$のカードの番号の積が3の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
(4)$A,B,C$のカードの番号の積がそれぞれ6の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
大問4：微分法
$a$を正の定数とし、関数$f(x)$を$f(x)=x^2-a{x}^2+4a-8$とする。
連立不等式$y\geqq f(x),y\leqq f(0),x\geqq 0$を満たす整数の組$(x,y)$の個数を$N(a)$とする。
(1)$a=2$のとき、$f(x)$の増減、極値を調べ、$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。
(2)$N(2)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極大値を$M$とする。曲線$y=f(x)$と直線$y=M$の共有点のx座標のうち、正であるものを求めよ。
(4)$a$を${\displaystyle \frac{9}{4}}<a<{\displaystyle \frac{5}{2}}$を満たす定数とするとき、$N(a)=N(2)$となるような$a$の値の範囲を求めよ。
大問5：数列
$r$は0以外の実数とする。数列$a_n$は、$a_1=1,a_{n+1}=r{a}_n(n=1,2,3,\dots )$を満たしている。また、この数列$a_n$に対して、数列$b_n$を、$b_1=-1,b_{n+1}=2b_n+a_n(n=1,2,3,\dots )$によって定める。
(1)数列$a_n$の一般項を求めよ。
(2)数列$c_n$を $c_n={\displaystyle \frac{b_n}{r^n}}$ によって定める。
(i)$c_{n+1}$を$r$と$c_n$を用いて表せ。
(ii)数列$c_n$の一般項を求めよ。
(3)$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k}$とする。$r=2$のとき、$S_n$を最小にする正の整数$n$の値をすべて求めよ。また、$r=4$のとき、$S_n$を最小にする正の整数$n$の値をすべて求めよ。