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$x^{2026} - 1$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

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96年　早稲田大学政治経済学部過去問
x-y平面に、互いに異なる 5個の格子点を選ぶ と、その中に次の性質を もつ格子点が少なくと も一対は存在することを示せ

※一対の格子点を結ぶ 線分の中点が格子点

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次の問いに答えよ。
(1) a, b, nは自然数の定数で、bは4の倍数ではなく、n$ \geq$2 とする。aが$2^n$の倍数であるが、$ 2^{n +1}$の倍数ではないとき、a(a+b), 2a(2a + b) のいずれかは、$2 ^{n + 1}$ の倍数であるが、$2^{n + 2}$の倍数ではないことを示せ。
(2) bは自然数の定数で、4の倍数ではないとする。3以上の任意の自然数nに対して、次を満たす自然数 $a_n$ が存在することを示せ。$$ \frac{a_n(a_n + b)}{2^{2^n}}$$は、小数第n位の数字が5である小数第n位までの有限小数で表される。

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黒板に1以上100以下の整数が1つずつ書かれている。
黒板から整数$a,b$を選んで消し、新たに$a^2b^2+3$と$a^2+n^2+2$の最大公約数を書くという操作を繰り返し行う。
黒板に書かれている整数が１つだけになったとき、その整数は平方数でないことを示せ。
$a,2,3,4,・・・,99,100$
$2^23^2+3=39$と$2^2+3^2+2=15$の最大公約数は3
残り1つになった整数は平方数でない

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$\frac{a^2-12}{a}$が自然数となる整数aの値をすべて求めよ。$(a \neq 0)$

滝高等学校