九州大 Σの公式証明 Mathematics Japanese university entrance exam

九州大　Σの公式証明 Mathematics Japanese university entrance exam

問題文全文(内容文)：
2010九州大学過去問題
以下の問いに答えよ。証明
(1)和

1 + 2 + 3 + \dots + n

をnの多項式で表せ
(2)和

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}

をnの多項式で表せ
(3)和

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}

をnの多項式で表せ

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2010九州大学過去問題
以下の問いに答えよ。証明
(1)和

1 + 2 + 3 + \dots + n

をnの多項式で表せ
(2)和

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}

をnの多項式で表せ
(3)和

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}

をnの多項式で表せ

投稿日：2018.09.19

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問題文全文(内容文)：
初項から第

n

項までの和

S_{n}

が次の式で表される数列{

a_{n}

}の一般項を求めよ。
（1）

S_{n} = n^{2} + 4 n

（2）

S_{n} = 2^{n + 1} - 4 n + 1

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福田のおもしろ数学366〜漸化式で定義された数列の周期性を示す

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

x_{n}

が

x_{1}

を正の整数とし、

x_{n + 1} = {\begin{cases} \frac{1}{2} x_{n} & (x_{n} が偶数) \\ a + x_{n} & (x_{n} が奇数) \end{cases}

(

a

は正の奇数) を満たしている。この数列の周期性を示せ。

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群馬大　整数問題 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#群馬大学#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

p

素数、

m, n

整数

(m \neq 0)

n, p - m, m + n

がこの順に等差数列

p - m, n, p + m

がこの順に等比数列

p, m, n

を求めよ

出典：群馬大学　過去問

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ただの分数の和

単元： #数列とその和（等差・等比・階差・Σ）

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{3}

\frac{1}{6}

\frac{1}{10}

\frac{1}{15}

\frac{1}{21}

\frac{1}{28}

\dots

\frac{□}{□}

=?
＊分母の数は階差数列

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第4問〜数学的帰納法とはさみうちの原理

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　正の数列

x_{1}

x_{2}

x_{3}

,...,

x_{n}

,... は以下を満たすとする。

x_{1}

=8,　

x_{n + 1}

\sqrt{1 + x_{n}}

　(

n

=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)

x_{2}

x_{3}

x_{4}

をそれぞれ求めよ。
(2)すべての

n

≧1について(

x_{n + 1}

α

)(

x_{n + 1}

α

x_{n}

α

　となる定数

α

で、
正であるものを求めよ。
(3)

α

を(2)で求めたものとする。すべての

n

≧1について

x_{n}

＞

α

であることを

n

に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値

lim_{n \to \infty} x_{n}

を求めよ。

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