福田のわかった数学〜高校３年生理系068〜微分(13)関数方程式

問題文全文(内容文)：
数学

III

　微分(13)　関数方程式

x > 0

で定義された微分可能な関数

f (x)

において、

f (x y) = f (x) + f (y)

が正の数

x, y

に対して常に成り立ち、

f^{'} (1) = 1

とする。

(1)

f (1)

　を求めよ。
(2)

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

　を示せ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　微分(13)　関数方程式

x > 0

で定義された微分可能な関数

f (x)

において、

f (x y) = f (x) + f (y)

が正の数

x, y

に対して常に成り立ち、

f^{'} (1) = 1

とする。

(1)

f (1)

　を求めよ。
(2)

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

　を示せ。

投稿日：2021.08.27

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
実数tの関数

F (t) = \int_{0}^{1} | x^{2} - t^{2} | d x

について考える。
(1)

0 ≦ t ≦ 1

のとき、

F (t)

をtの整式として表せ。
(2)

t ≧ 0

のとき、F(t)を最小にするtの値TとF(T)の値を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ 2 π

関数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t} c o s t d t

の最大値とそのときの

x

の値を求めよ。

出典：北海道大学　教員採用試験

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問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} y ≧ x^{2} - 1 \\ y ≦ x + 1 \end{cases} \end{array}

(x, y)

がこの領域を動く

x^{2} + y^{2} - 4 y

の最大値・最小値を求めよ。

出典：2001年熊本大学　過去問

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x - \sqrt{x^{2}}

は

x = 0

で微分可能出ないことを示せ.

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問題文全文(内容文)：

n

を2以上の自然数とする。三角形

A B C

において,辺

A B

の長さを

c

,辺

C A

の長さを

b

で表す。

∠ A C B = n ∠ A B C

であるとき,

c < n b

を示せ。

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