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$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
ある大学には、多くの留学生が在籍している。この大学の留学生に対して学習や生活を支援する
留学生センターでは、留学生の日本語の学習状況について関心を寄せている。

(1)この大学では、留学生に対する授業として、いかに示す三つの日本語学習コースがある。
初級コース:1週間に10時間の日本語の授業を行う
中級コース:1週間に8時間の日本語の授業を行う
上級コース:1週間に6時間の日本語の授業を行う
すべての留学生が三つのコースのうち、いずれか一つのコースのみに登録する
ことになっている。留学生全体における各コースに登録した留学生の割合は、
それぞれ　初級コース:20％,　中級コース:35％,　上級コース:$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}％$
であった。ただし、数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。
この留学生の集団において、一人を無作為に抽出したとき、その留学生が1週間に
受講する日本語学習コースの授業の時間数を表す確率変数をXとする。
$X$の平均(期待値)は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}{2}}$であり、$X$の分散は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}{20}}$である。

次に、留学生全体を母集団とし、$a$人を無作為に抽出した時、初級コースに登録した人数
を表す確率変数を$Y$とすると、$Y$は二項分布に従う。このとき、$Y$の平均$E(Y)$は

$E(Y)={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$

である。
また、上級コースに登録した人数を表す確率変数を$Z$とすると、$Z$は二項分布に従う。
$Y,Z$の標準偏差をそれぞれ$\delta (Y),\delta (Z)$とすると

${\displaystyle \frac{\delta (Z)}{\delta (Y)}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}}$

である。
ここで、$a=100$としたとき、無作為に抽出された留学生のうち、初級コースに
登録した留学生が28人以上となる確率を$p$とする。$a=100$は十分大きいので、
$Y$は近似的に正規分布に従う。このことを用いて$p$の近似値を求めると、
$p=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$である。


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$については。最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪$0.002$　①$0.023$　②$0.228$　③$0.477$　④$0.480$　⑤$0.977$


(2)40人の留学生を無作為に抽出し、ある1週間における留学生の日本語学習コース
以外の日本語の学習時間(分)を調査した。ただし、日本語の学習時間は母平均$m$,
母分散${\delta }^2$の分布に従うものとする。
母分散${\delta }^2$を$640$と仮定すると、標本平均の標準偏差は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$となる。
調査の結果、40人の学習時間の平均値は120であった。標本平均が近似的に
正規分布に従うとして、母平均$m$に対する信頼度95％の信頼区間を$C_1\leqq m\leqq C_2$とすると
$C_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}\mathrm{チ}}}.\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}},$
$C_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}.\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}}}$
である。


(3)(2)の調査とは別に、日本語の学習時間を再度調査することになった。そこで、
50人の留学生を無作為に抽出し、調査した結果、学習時間の平均値は120であった。
母分散${\delta }^2$を640と仮定したとき、母平均$m$に対する信頼度95％の信頼区間を
$D_1\leqq m\leqq D_2$とすると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$が成り立つ。
一方、母分散${\delta }^2$を960と仮定したとき、母平均$m$に対する信頼度95％の
信頼区間を$E_1\leqq m\leqq E_2$とする。このとき、$D_2-D_1=E_2-E_1$と
なるためには、標本の大きさを50の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}.\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}$倍にする必要がある。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$の解答群
⓪$D_1<C_1$かつ$D_2<C_2$　　①$D_1<C_1$かつ$D_2>C_2$
②$D_1>C_1$かつ$D_2<C_2$　　③$D_1>C_1$かつ$D_2>C_2$

2021共通テスト過去問

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