問題文全文(内容文)：
1. 次の問いに答えなさい。

(1)
(i) 実数 $x,y$ が $x^2+y^2=1$ を満たすとき、$x+2y$ の最大値は $\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$ であり、このときの $x,y$ の値は

$x=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}},\quad
y=\dfrac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}$

である。

(ii) $a$ を実数の定数とする。実数 $x,y$ が $x^2+2y^2=4$ かつ、$y\geqq 0$ を満たすとき

$(x+y)^2-2a(x+y-1)$

の最小値が $-4$ となるような定数 $a$ の値をすべて求めると

$a=\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}},
\quad
\boxed{\text{キ}}+\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

である。

(2)
1 個のさいころを 3 回投げる試行を考える。

ちょうど 3 種類の目が出る確率は

$\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$

である。

出た目の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

$m\leqq 2$ かつ、ちょうど 2 種類の目が出る確率は

$\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}$

である。

また、$m\leqq 2$ かつ、$4\leqq M$ であるとき、出た目がちょうど 2 種類である条件付き確率は

$\dfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$

である。

問題文全文(内容文)：
2. $xy$ 平面上の楕円 $C:\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ は円$x^2+y^2=r^2\ (r>0)$ を
$x$ 軸をもとにして $y$ 方向に $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 倍したものである。$C$ の 2 つの焦点のうち、$x$ 座標が負であるものを $F_1$、正であるものを $F_2$ とする。また、$C$ と $y$ 軸との 2 つの交点のうち、$y$ 座標が負であるものを $A$ とするとき、$F_1A=2\sqrt{5}$ が成り立っている。
このとき、$r=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$ であり、$F_1$ の座標は $(-\sqrt{\boxed{\text{ウ}}},0)$ である。
(1) 直線 $F_1A$ に平行な楕円 $C$ の接線のうち、$y$ 切片が正であるものを $\ell$ とすると、
$\ell$ の方程式は$y=-\sqrt{\boxed{\text{エ}}\,}x+\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である。
また、$P$ を楕円 $C$ 上の点とするとき、三角形 $F_1AP$ の面積の最大値は
$\dfrac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\,(\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}+1)}{2}$
であり、このとき点 $P$ の $x$ 座標は$\boxed{\text{コ}}$である。
(2) $Q$ を楕円 $C$ 上の第 1 象限の点とする。三角形 $QF_1F_2$ の内心を $I$ とし、
点 $Q,$点$I$ の $y$ 座標をそれぞれ $y_Q,y_I$ とするとき
$y_Q=\boxed{\text{サ}}y_1$
が成り立つ。
また、点 $(0,y_Q)$ を焦点、直線 $y=y_I$ を準線とする放物線が点 $Q$ を通るとき
$y_Q=\dfrac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}$
である。

問題文全文(内容文)：
4　関数 $f(x)=x-1+\sqrt{-x^2+6x+23}$ に対し、xy 平面上の $y=f(x)$ のグラフを
$C$ とする。

(1) 関数 $f(x)$ の定義域は
$\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\le x\le\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$
である。
$f(x)$ は、$x=\boxed{\text{キ}}$ のとき、最大値 $\boxed{\text{クケ}}$ をとる。

(2) $C$ と直線 $y=x-1$ で囲まれた図形の面積を $S$ とする。
$C$ と直線 $y=x-1$ の交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ とすると
$S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{f(x)-(x-1)\}\,dx$
$=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\boxed{\text{コサ}}-(x-\boxed{\text{シ}})^2}\,dx$
$=\boxed{\text{スセ}}\pi$
である。

(3) 点 $(-1,f(-1))$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ の方程式は
$y=\boxed{\text{ソ}}\;x+\boxed{\text{タ}}$
である。
$C$、$\ell$ および、直線 $y=\boxed{\text{クケ}}$ で囲まれる図形の面積を $T$ とすると
$T=\boxed{\text{チツ}}-\boxed{\text{テ}}\pi$
である。

問題文全文(内容文)：
1 袋の中に赤玉3個と白玉3闇が入っており、袋の外に白玉がたくさんある。この袋の中から1個の玉を取り出して色を確認し、赤玉ならその玉の代わりに袋の外の白玉を1つ袋に入れ、白玉ならその玉を袋に戻す。
この操作を繰り返し、袋の中の玉がすべて白玉になるか、または白玉を取り出した回数の合計が2回になったところで操作を終了する。
(1) 2個目の玉を取り出したところで操作が終了となる確率は??である。
3個目の玉を取り出したところで操作が終了となる確率は??である。
(2) 4個目の玉を取り出し、かつその玉が3個目の赤玉である確率は??である。
(3) 4個目の玉を取り出し操作が終了となったとき、白玉が袋から連続して取り出されている条件付き確率は??である。

問題文全文(内容文)：
2 a を実数の定数とする。3次方程式
$x^3 - (a - 3)x^2 - 3a^2 = 0$ ...... (*)
を考える。

(1) $a = \frac{4}{3}$ のとき、(*) の実数解は $x = \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$ である。
また、(*) の虚数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha \neq \beta$) とすると
$(\alpha^2 + 4\alpha + 4)(\beta^2 - 5\beta + 4) = \fbox{ウエオ}$
である。

(2) 方程式 (*) の異なる実数解の個数がちょうど2個であるとき、a の値は
$a = \fbox{カ}$, \ $\fbox{キク}$, \ $\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}$
である。

(3) i は虚数単位とする。$\gamma = \frac{-3 + \sqrt{3}i}{2}$ とするとき
$\gamma^5 = \frac{\fbox{サ}(\fbox{シ} + \sqrt{3}i)}{2}$
である。
条件「$\gamma^n + 3$ が方程式 (*) の解となるような実数 a が存在する」を満たすような
最小の自然数 n は $n = \fbox{ス}$ である。また、そのときの a の値は、$a = \fbox{セソ}$
である。