福田の数学〜浜松医科大学2023年医学部第1問〜高次方程式の解 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜浜松医科大学2023年医学部第1問〜高次方程式の解

問題文全文(内容文):
次の条件を満たす係数が整数の多項式 $f(x)$ を考える。
(I) $f(0)$ は4で割り切れない。
(II) 方程式$f(x) = 0 $は$ x = 1 $で重解をもつ。
(III) 方程式$f(x)=x(x-1)(x-2)$ は異なる整数解をもつ。
このとき、$f(4)$ を36で割ったときの余りを求めよ。

2023浜松医科大学医過去問
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
次の条件を満たす係数が整数の多項式 $f(x)$ を考える。
(I) $f(0)$ は4で割り切れない。
(II) 方程式$f(x) = 0 $は$ x = 1 $で重解をもつ。
(III) 方程式$f(x)=x(x-1)(x-2)$ は異なる整数解をもつ。
このとき、$f(4)$ を36で割ったときの余りを求めよ。

2023浜松医科大学医過去問
投稿日:2023.08.08

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$ x^2-\sqrt3x+1=0$のとき,
$x^{30}+\dfrac{1}{x^{30}}$の値を求めよ.
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問題文全文(内容文):
$\alpha=\displaystyle \frac{3+\sqrt{ 7 }\ i}{2}$とする。
ただし、$i$は虚数単位である。次の問いに答えよ。
(1)
$\alpha$を解にもつような2次方程式$x^2+px+q=0(p,q$は整数)を求めよ。

(2)
整数$a,b,c$を係数とする3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$について、解の1つは$\alpha$であり、また$0 \leqq x \leqq 1$の範囲に実数解を1つもつとする。
このような整数の組$(a,b,c)$を全て求めよ。
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問題文全文(内容文):
整式$P(x)$を$(x-2)^2$で割るとあまりは$6x-1$であり,
$(x+1)$で割るとあまりは2である.
$P(x)$を$(x-2)^2(x+1)$で割ったあまりはいくつか?求めよ.

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
数学$\textrm{II}$ 高次方程式
3次方程式$x^3+ax+b=0$の
3つの解を$\alpha,\beta,\gamma$とし、
$t_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$
のとき、$at_5+bt_4$を$a,b$で表せ。
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