福田の数学〜神戸大学2022年文系第1問〜場合分けされた放物線と直線の共有点と囲まれた面積 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜神戸大学2022年文系第1問〜場合分けされた放物線と直線の共有点と囲まれた面積

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ aを正の実数とする。x \geqq 0のときf(x)=^2、x \lt 0のときf(x)=-x^2とし、\\
曲線y=f(x)をC、直線y=2ax-1をlとする。以下の問いに答えよ。\\
(1)Cとlの共有点の個数を求めよ。\\
(2)Cとlがちょうど2個の共有点をもつとする。Cとlで囲まれた図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#神戸大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ aを正の実数とする。x \geqq 0のときf(x)=^2、x \lt 0のときf(x)=-x^2とし、\\
曲線y=f(x)をC、直線y=2ax-1をlとする。以下の問いに答えよ。\\
(1)Cとlの共有点の個数を求めよ。\\
(2)Cとlがちょうど2個の共有点をもつとする。Cとlで囲まれた図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
投稿日:2022.04.29

<関連動画>

福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題2。微分積分の問題。

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#面積、体積#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
[1]aを実数とし、f(x)=x^3-6ax+16\\
(1)y=f(x)のグラフの概形は\\
a=0のとき、\boxed{\ \ ア\ \ }\\
a \gt 0のとき、\boxed{\ \ イ\ \ }\\
である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪~⑤のうちから\\
1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。\\
(※選択肢は動画参照)\\
\\
\\
(2)a \gt 0とし、pを実数とする。座標平面上の曲線y=f(x)と直線y=p\\
が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt p \lt \boxed{\ \ エ\ \ }\\
である。\\
p=\boxed{\ \ ウ\ \ }のとき、曲線y=f(x)と直線y=pは2個の共有点をもつ。\\
それらのx座標をq,r(q \lt r)とする。曲線y=f(x)と直線y=p\\
が点(r,p)で接することに注意すると\\
q=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}, r=\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}\\
と表せる。\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }, \boxed{\ \ エ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16 ①-2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16\\
②4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16 ③-4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16\\
④8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16 ⑤-8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16\\
\\
(3)方程式f(x)=0の異なる実数解の個数をnとする。次の⓪~⑤のうち、\\
正しいものは\boxed{\ \ ケ\ \ }と\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }, \boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(解答の順序は問わない。)\\
\\
⓪n=1ならばa \lt 0 ①a \lt 0ならばn=1\\
②n=2ならばa \lt 0 ③a \lt 0ならばn=2\\
④n=2ならばa \gt 0 ⑤a \gt 0ならばn=3\\
\\
\\
[2]b \gt 0とし、g(x)=x^3-3bx+3b^2, h(x)=x^3-x^2+b^2とおく。\\
座標平面上の曲線y=g(x)をC_1, 曲線y=h(x)をC_2とする。\\
\\
\\
C_1とC_2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれ\alpha,\beta\\
(\alpha \lt \beta)とすると、\alpha=\boxed{\ \ サ\ \ }, \beta=\boxed{\ \ シス\ \ }である。\\
\alpha \leqq x \leqq \betaの範囲でC_1とC_2で囲まれた図形の面積をSとする。また、\\
t \gt \betaとし、\beta \leqq x \leqq tの範囲でC_1とC_2および直線x=tで囲まれた図形の\\
面積をTとする。\\
このとき\\
S=\int_{\alpha}^{\beta}\boxed{\ \ セ\ \ }dx\\
T=\int_{\beta}^{t}\boxed{\ \ ソ\ \ }dx\\
S-T=\int_{\alpha}^{t}\boxed{\ \ タ\ \ }dx\\
であるので\\
S-T=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}(2t^3-\ \boxed{\ \ ト\ \ }bt^2+\boxed{\ \ ナニ\ \ }b^2t-\ \boxed{\ \ ヌ\ \ }b^3)\\
が得られる。\\
したがって、S=Tとなるのはt=\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}\ bのときである。\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }~\boxed{\ \ タ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪\left\{g(x)+h(x)\right\} ①\left\{g(x)-h(x)\right\}\\
②\left\{h(x)-g(x)\right\} ③\left\{2g(x)+2h(x)\right\}\\
④\left\{2g(x)-2h(x)\right\} ⑤\left\{2h(x)-2g(x)\right\}\\
⑥2g(x) ⑦2h(x)
\end{eqnarray}
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福田の数学〜名古屋大学2022年文系第3問〜放物線と放物線で囲まれた面積

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ a,bを実数とし、放物線y=\frac{1}{2}x^2をC_1、放物線y=-(x-a)^2+bをC_2とする。\\
(1)C_1とC_2が異なる2点で交わるためのa,bの条件を求めよ。\\
以下、C_1とC_2は異なる2点で交わるとし、C_1とC_2で囲まれた図形の面積をSとする。\\
(2)S=16となるためのa,bの条件を求めよ。\\
(3)a,bはb \leqq a+3を満たすとする。このときSの最大値を求めよ。
\end{eqnarray}
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福田の数学〜京都大学2022年文系第3問〜放物線と直交する2接線で囲まれる面積

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#京都大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ xy平面上の2直線L_1,L_2は直交し、交点のx座標は\frac{3}{2}である。\\
また、L_1,L_2は共に曲線C:y=\frac{x^2}{4}に接している。このとき、L_1,L_2およびCで\\
囲まれる図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
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積分で面積が出る理由

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単元: #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
積分をするとどうして面積が出るの?

仕組みを解説します!
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福田の数学〜慶應義塾大学2022年環境情報学部第4問〜ピラミッドを切って体積を求める

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ (1)xyz空間において|x|+|y|+|z| \leqq 1を満たす立体の体積は\ \frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\ である。\\
(2)aを実数としたとき、xyz空間において\\
|x-a|+|y-a|+|z| \leqq 1,\ \ \ x \geqq 0,\ \ \ y \geqq 0,\ \ \ z \geqq 0\ \ \ \\
を満たす立体の体積V(a)は\\
\\
(\textrm{a})a \lt \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}\ のとき、V(a)=0,\\
\\
(\textrm{b})\frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }} \leqq a \lt 0\ のとき、V(a)=\frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }a^3+\boxed{\ \ サシ\ \ }a^2+\boxed{\ \ スセ\ \ }a+\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツ\ \ }},\\
\\
(\textrm{c})0 \leqq a \lt \frac{\boxed{\ \ テト\ \ }}{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}\ のとき、V(a)=\frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }a^3+\boxed{\ \ ノハ\ \ }a+\boxed{\ \ ヒフ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘホ\ \ }},\\
\\
(\textrm{d})\frac{\boxed{\ \ テト\ \ }}{\boxed{\ \ ナニ\ \ }} \leqq a \lt \frac{\boxed{\ \ マミ\ \ }}{\boxed{\ \ ムメ\ \ }}\ のとき、V(a)=\frac{\boxed{\ \ モヤ\ \ }a^3+\boxed{\ \ ユヨ\ \ }a^2+\boxed{\ \ ラリ\ \ }a}{\boxed{\ \ ルレ\ \ }},\\
\\
(\textrm{e})\frac{\boxed{\ \ マミ\ \ }}{\boxed{\ \ ムメ\ \ }} \leqq a\ のとき、V(a)=\frac{\boxed{\ \ ロワ\ \ }}{\boxed{\ \ ヲン\ \ }}
\end{eqnarray}
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