問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ nを3以上の自然数、\alpha,\betaを相異なる実数とするとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)次を満たす実数A,B,Cと整式Q(x)が存在することを示せ。\\
x^n=(x-\alpha)(x-\beta)^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C\\
(2)(1)のA,B,Cをn,\alpha,\betaを用いて表せ。\\
(3)(2)のAについて、nと\alphaを固定して、\betaを\alphaに近づけたときの極限\\
\lim_{\beta \to \alpha}Aを求めよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数をa_1,a_2,\ldots,a_kと並べる。\\
ただし、a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_kとする。\\
以下の2つの条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を満たすmについて考える。\\
(\textrm{i})mは素数ではない。\\
(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt kを満たす全ての整数i,jについてa_j-a_i \leqq 3が\\
成り立つ。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)kは3または4であることを示し、mをa_2を用いて表せ。\\
(2)k=3となるとき、全ての正の整数nについて(a_2n+1)^{a_2}-1は\\
mの倍数であることを示せ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　整式f(x)=x^4-x^2+1　について、以下の問いに答えよ。\\
(1)x^6をf(x)で割った時の余りを求めよ。\\
(2)x^{2021}をf(x)で割った時の余りを求めよ。\\
(3)自然数nが3の倍数であるとき、(x^2-1)^n-1\\
がf(x)で割りきれることを示せ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(1)\ (a+b)^{21}の展開式a^{18}b^3の係数は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。\\
\\
\\
\\
(a+b+c)^{21}の展開式におけるa^{12}b^3c^6の係数を求めよ。
\end{eqnarray}