問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
[1]自然数nに対して、S_n=5^n-1とする。さらに、数列\left\{a_n\right\}の初項から\\
第n項までの和がS_nであるとする。このとき、a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また\\
n \geqq 2のとき\\
a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}\\
である。この式はn=1の時にも成り立つ。\\
上で求めたことから、すべての自然数nに対して\\
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)\\
が成り立つことが分かる。\\
\\
[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。\\
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、\\
数学的に考えることにした。\\
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。\\
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、\\
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。\\
\\
上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが2nの長方形をR_nとする。\\
3n枚のタイルを用いたR_n内の配置の総数をr_nとする。\\
n=1のときは、下の図(※動画参照)のようにr_1=3である。\\
\\
また、n=2nときは、下の図(※動画参照)のようにr_2=11である。\\
\\
(1)太郎さんは次のような図形T_n内の配置を考えた。\\
(3n+1)枚のタイルを用いたT_n内の配置の総数をt_nとする。n=1\\
のときは、t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
さらに、太郎さんはT_n内の配置について、右下隅のタイルに注目して\\
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
t_n=Ar_n+Bt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、A=\boxed{\ \ ケ\ \ }, B=\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
以上から、t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }であることが分かる。\\
同様に、R_nの右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、C=\boxed{\ \ ス\ \ }, D=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
\\
(2)畳を縦の長さが1, 横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3, 横の長さが6\\
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ ソタ\ \ }である。\\
また、縦の長さが3、横の長さが8の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、\\
敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ チツテ\ \ }である。
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
[1]自然数nに対して、S_n=5^n-1とする。さらに、数列\left\{a_n\right\}の初項から\\
第n項までの和がS_nであるとする。このとき、a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また\\
n \geqq 2のとき\\
a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}\\
である。この式はn=1の時にも成り立つ。\\
上で求めたことから、すべての自然数nに対して\\
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)\\
が成り立つことが分かる。\\
\\
[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。\\
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、\\
数学的に考えることにした。\\
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。\\
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、\\
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。\\
\\
上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが2nの長方形をR_nとする。\\
3n枚のタイルを用いたR_n内の配置の総数をr_nとする。\\
n=1のときは、下の図(※動画参照)のようにr_1=3である。\\
\\
また、n=2nときは、下の図(※動画参照)のようにr_2=11である。\\
\\
(1)太郎さんは次のような図形T_n内の配置を考えた。\\
(3n+1)枚のタイルを用いたT_n内の配置の総数をt_nとする。n=1\\
のときは、t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
さらに、太郎さんはT_n内の配置について、右下隅のタイルに注目して\\
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
t_n=Ar_n+Bt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、A=\boxed{\ \ ケ\ \ }, B=\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
以上から、t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }であることが分かる。\\
同様に、R_nの右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、C=\boxed{\ \ ス\ \ }, D=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
\\
(2)畳を縦の長さが1, 横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3, 横の長さが6\\
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ ソタ\ \ }である。\\
また、縦の長さが3、横の長さが8の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、\\
敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ チツテ\ \ }である。
\end{eqnarray}
単元:
#大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師:
福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
[1]自然数nに対して、S_n=5^n-1とする。さらに、数列\left\{a_n\right\}の初項から\\
第n項までの和がS_nであるとする。このとき、a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また\\
n \geqq 2のとき\\
a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}\\
である。この式はn=1の時にも成り立つ。\\
上で求めたことから、すべての自然数nに対して\\
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)\\
が成り立つことが分かる。\\
\\
[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。\\
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、\\
数学的に考えることにした。\\
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。\\
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、\\
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。\\
\\
上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが2nの長方形をR_nとする。\\
3n枚のタイルを用いたR_n内の配置の総数をr_nとする。\\
n=1のときは、下の図(※動画参照)のようにr_1=3である。\\
\\
また、n=2nときは、下の図(※動画参照)のようにr_2=11である。\\
\\
(1)太郎さんは次のような図形T_n内の配置を考えた。\\
(3n+1)枚のタイルを用いたT_n内の配置の総数をt_nとする。n=1\\
のときは、t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
さらに、太郎さんはT_n内の配置について、右下隅のタイルに注目して\\
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
t_n=Ar_n+Bt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、A=\boxed{\ \ ケ\ \ }, B=\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
以上から、t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }であることが分かる。\\
同様に、R_nの右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、C=\boxed{\ \ ス\ \ }, D=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
\\
(2)畳を縦の長さが1, 横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3, 横の長さが6\\
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ ソタ\ \ }である。\\
また、縦の長さが3、横の長さが8の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、\\
敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ チツテ\ \ }である。
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
[1]自然数nに対して、S_n=5^n-1とする。さらに、数列\left\{a_n\right\}の初項から\\
第n項までの和がS_nであるとする。このとき、a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また\\
n \geqq 2のとき\\
a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}\\
である。この式はn=1の時にも成り立つ。\\
上で求めたことから、すべての自然数nに対して\\
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)\\
が成り立つことが分かる。\\
\\
[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。\\
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、\\
数学的に考えることにした。\\
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。\\
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、\\
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。\\
\\
上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが2nの長方形をR_nとする。\\
3n枚のタイルを用いたR_n内の配置の総数をr_nとする。\\
n=1のときは、下の図(※動画参照)のようにr_1=3である。\\
\\
また、n=2nときは、下の図(※動画参照)のようにr_2=11である。\\
\\
(1)太郎さんは次のような図形T_n内の配置を考えた。\\
(3n+1)枚のタイルを用いたT_n内の配置の総数をt_nとする。n=1\\
のときは、t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
さらに、太郎さんはT_n内の配置について、右下隅のタイルに注目して\\
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
t_n=Ar_n+Bt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、A=\boxed{\ \ ケ\ \ }, B=\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
以上から、t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }であることが分かる。\\
同様に、R_nの右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、C=\boxed{\ \ ス\ \ }, D=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
\\
(2)畳を縦の長さが1, 横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3, 横の長さが6\\
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ ソタ\ \ }である。\\
また、縦の長さが3、横の長さが8の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、\\
敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ チツテ\ \ }である。
\end{eqnarray}
投稿日:2021.02.07