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慶応義塾大学過去問題'68
$a^2+b^2+c^2$を満足する3つの正の整数a,b,cをピタゴラス数という。
a,b,cがピタゴラス数であるとき
(1)$\frac{b+c}{a}=t$とおいて、a:b:cをtの整式の比として表せ。
(2)$100 \geqq a+b+c \geqq 50$の例を2つあげよ(a,b,c互いに素)

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$\displaystyle \int_{\sin\ 15^{ \circ }}^{\cos\ 15^{ \circ }} (3x^2-1) dx$

出典：2001年早稲田大学人間科学部　入試問題

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$\Large\boxed{3}$ Oを原点とする座標空間内に点A($a$, 0, 0), B(0, $b$, 0)と線分AB上を動く点Pがある。ただし、$a$, $b$は正の定数とする。Pを通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点をQ、Pを通り$y$軸に垂直な直線と$y$軸との交点をRとする。長方形OQPRを底面とし、高さがOQの長さに等しい直方体の体積をVとおく。Pの座標をP($x$, $y$, 0)とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$y$を$x$を用いて表せ。
(2)Vを$x$を用いて表せ。
(3)Pが線分AB上を動くとき、Vの最大値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

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2025年版！高校別東大合格者数ランキング速報がヤバい！

このランキングはまだ暫定版で、筑駒の数字はまだ出ていないが、激アツな順位が明らかになったぞ。

栄えある第1位は、今年も駒の数字はまだ出ていないが、激アツな順位が明らかになったぞ。

栄えある第1位は、今年も**開成高校**で149人合格の圧倒的な強さを見せつけた。

そして注目すべきは公立高校の躍進だ！

* 第3位には**日比谷高校**がランクインし、公立ながら東大に81人も合格させている。
* 第7位には**横浜翠嵐高校**（神奈川県）が74人で食い込む。
* 第14位には**県立浦和**が41人で登場だ。
* さらに、**旭丘**（愛知）が28人、**千葉高校**（県立）が21人、**宇都宮**（栃木）が20人、**岡崎**（愛知）も20人と、全国の公立高校が猛追している！

私立ももちろん強い。2位が**聖光学院**（神奈川）で95人、4位**麻布**（79人）、5位**灘**（76人）、6位**渋谷教育学園幕張**（千葉、75人）と続く。神奈川勢は、聖光学院、横浜翠嵐、栄光学園（8位、55人）、浅野（9位、51人）と大健闘だ。

**渋渋（渋谷教育学園渋谷）が50人で10位**に入り、今年も伸びを見せつけているぞ。

このランキングを見れば、どの高校が東大合格戦線をリードしているのか一目瞭然だ。お前らの高校は何位だ！？

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$\boxed{1}$

座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$と

円$C_2:x^2+(y-b)^2=a^2$を考える。

ただし、$a,b$は正の実数とする。

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための

必要十分条件は

$b=\boxed{ア}a$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。

(2)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための

必要十分条件は

$b=\boxed{エ}a^2+\dfrac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。

(ただし、$C_1$と$C_2$が共有点$P$で接するとは、

$P$における$C_1$の接線と$C_"$の接線が等しいことをいう)

また、このとき$2$つの接点のうち$x$座標が

正のものを$A(\alpha,\beta)$とすると、

$\beta=\boxed{ケ}a^2+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。

$A$における共通の接線の傾きが$\sqrt3$であるとき、

直線$y=\beta$の下側で、

$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は

$\dfrac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sqrt{\boxed{セ}}-\dfrac{\pi}{\boxed{ソ}}$である。

$2025$年上智大学TEAP利用型文系過去問題