【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ2 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフの概形をかけ。
(1)

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

(2)

y = x + \sqrt{1 - x^{2}}

(3)

y = x \sqrt{1 - x^{2}}

(4)

y = e^{\frac{1}{x}}

(5)

y = e^{- x} \cos x (0 ≦ x ≦ 2 π)

チャプター：

0:00　オープニング
0:03　問題概要
1:23　(1)解説
5:24　(2)解説
7:39　(3)解説
9:15　(4)解説
11:54　(5)解説

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフの概形をかけ。
(1)

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

(2)

y = x + \sqrt{1 - x^{2}}

(3)

y = x \sqrt{1 - x^{2}}

(4)

y = e^{\frac{1}{x}}

(5)

y = e^{- x} \cos x (0 ≦ x ≦ 2 π)

投稿日：2025.03.05

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
曲線

C : y = e^{x}

を考える。
(1)

a, b

を実数とし、

a ≧ 0

とする。曲線Cと直線

y = a x + b

が共有点をもつため
のaとbの条件を求めよ。
(2)正の実数tに対し、C上の点

A (t, e^{t})

を中心とし、直線

y = x

に接する円Dを
考える。直線

y = x

と円Dの接点Bのx座標は

タ

であり、
円Dの半径は

チ

である。線分ABを3:2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標
をそれぞれX(t),Y(t)とする。このとき、等式

lim_{t \to \infty} \frac{Y (t) - k X (t)}{\sqrt{{X (t)}^{2} + {Y (t)}^{2}}} = 0

が成り立つような実数kを定めると

k = ツ

である。
ただし、

lim_{t \to \infty} t e^{- t} = 0

である。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)Cを積分定数として、指数関数とたんっ公式の席の不定積分について、次式が成り立つ。

\int x e^{- 3 x} d x = - (\frac{ア x + イ}{ウ}) e^{- 3 x} + C

\int x^{2} e^{- 3 x} d x = - (\frac{エ x^{2} + オ x + カ}{キ ク}) e^{- 3 x} + C

また、定積分について、

\int_{0}^{1} | (9 x^{2} - 1) e^{- 3 x} | d x = \frac{1}{ケ} (- 1 + コ e^{サ シ} - ス セ e^{- 3})

が成り立つ。

(2)p,q,rを実数の定数とする。関数

f (x) = (p x^{2} + q x + r) e^{- 3 x}

が

x = 0

で極大、

x = 1

で極小となるための必要十分条件は

p = ソ タ r, q = チ r, ツ

である。さらに、

f (x)

の極小値が-1であるとすると、

f (x)

の極大値は

\frac{e^{テ}}{ト}

となる.
このとき、

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{ナ}{二}

である。

ツ

の解答群

① r > 0 ② r = 0 ③ r < 0 ④ r > 1 ⑤ r = 1

⑥ r < 1 ⑦ r > \frac{1}{3} ⑧ r = \frac{1}{3} ⑨ r < \frac{1}{3}

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
半径rの球に外接する直円錐について
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(2) 表面積の最小値を求めよ

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　微分(12)　微分計算

y = \sqrt[3]{\frac{2 x + 1}{x (x - 2)^{2}}}

を微分せよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{0}^{π} | \sin (t - x) - \sin 2 t | d t

の区間

0 ≦ x ≦ π

における最大値と最小値を求めよ。

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