問題文全文(内容文)：
$f(x)=(x^2-1)^n(n$自然数$)$

（1）
$f'(x)=2nx(x^2-1)^{n-1}$を証明せよ

（2）
$f(x)$の極値を求めよ

出典：東京海洋大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$　$a$,$b$を正の実数、$p$を$a$より小さい正の実数とし、すべての実数$x$について
$\displaystyle\int_p^{f(x)}\frac{a}{u(a-u)}du$=$bx$,　0＜$f(x)$＜$a$
かつ$f(0)$=$p$を満たす関数$f(x)$を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1)$f(x)$を$a$,$b$,$p$を用いて表せ。
(2)$f(-1)$=$\frac{1}{2}$,　$f(1)$=1,　$f(3)$=$\frac{3}{2}$のとき、$a$,$b$,$p$を求めよ。
(3)(2)のとき、$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)$,　$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

$a,p$は正の実数とする。

座標平面上の曲線$C_1:y=e^x$と$C_1$上の点

$(p,e^p)$がある。

$P$における$C_1$の法線を$\ell,\ell$と$x$軸の

交点を$A(a,0)$、$A$を中心とする半径$r$の円を

$C_2$とする。

$P$が$C_1$と$C_2$のただ一つの共有点であるとき、

次の問いに答えよ。

(1)$\ell$の方程式を$p$を用いて表せ。

(2)$a$を$p$を用いて表せ。

(3)$r$を$p$を用いて表せ。

(4)$\angle OAP=\dfrac{\pi}{6}$のとき、$p$の値を求めよ。

(5)$p$を(4)で求めた値とするとき、

次の不等式の表す領域$D$の面積$S$を求めよ。

$-2 \leqq x \leqq p,\ y\geqq 0,\ y\leqq e^x,$

$(x-a)^2+y^2\geqq r^2$

$2025$年立教大学理学部過去問題

問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = x^2$ がある。

(1) $a$ を定数とし、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = ax - a$ が異なる2点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ で交わっている。

[1] $a$ の取り得る値の範囲は
$$ a < \text{アイ}, \quad \text{ウ} < a $$
である。

[2] $a$ が変化するとき、線分 $\mathrm{AB}$ の中点の軌跡は放物線
$$ y = \text{エ}x^2 - \text{オ}x \quad (\text{カ} < x < \text{キ}) $$
の部分である。

[3] 点 $(x, y)$ が [2] で求めた軌跡上を動くとき、
$$ K = \frac{x^2 - y + 8}{x - 1} $$
の取り得る値の範囲は不自由式【ク】で表され、$P = \text{ケコ}$, $Q = \text{サシ}$ である。

問題文全文(内容文)：
一直線をなす海岸の地点Aから海岸線に垂直に9km離れた沖の船にいる人が､Aから海岸にそって15km離れた地点Bに最短時間で到着するためには､AB間のAからどれだけ離れた地点に上陸すればよいか｡ただし､地点B以外で上陸した場合､上陸した後は歩いて地点Bに向かうものとし､船の速さは4km/h､人の歩く速さは5km/hとする｡