福田の数学〜大阪大学2024年理系第5問〜互いに素な整数の個数

問題文全文(内容文)：

5

自然数1, 2, 3, ...,

n

のうち、

n

と互いに素であるものの個数を

f (n)

とする。
(1)自然数

a

b

c

及び相異なる素数

p

q

r

に対して、等式

f (p^{a} p^{b} p^{c})

p^{a - 1} p^{b - 1} p^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)

が成り立つことを示せ。
(2)

f (n)

が

n

の約数となる5以上100以下の自然数

n

をすべて求めよ。

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

自然数1, 2, 3, ...,

n

のうち、

n

と互いに素であるものの個数を

f (n)

とする。
(1)自然数

a

b

c

及び相異なる素数

p

q

r

に対して、等式

f (p^{a} p^{b} p^{c})

p^{a - 1} p^{b - 1} p^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)

が成り立つことを示せ。
(2)

f (n)

が

n

の約数となる5以上100以下の自然数

n

をすべて求めよ。

投稿日：2024.06.04

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nを整数とする.

n^{8} - 6 n^{6} + 9 n^{4} - 4 n^{2}

は720の倍数であることを示せ.

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問題文全文(内容文)：

\frac{a^{2} - 12}{a}

が自然数となる整数aの値をすべて求めよ。

(a \neq 0)

滝高等学校

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問題文全文(内容文)：

x, y, z

：正の整数

x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 x y - 2 x z + 2 y z - 5 = 0

をみたす組（

x, y, z

）をすべて求めよ。

出典：2001年京都大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：

N = n^{2} + n + 40

のnにどのような自然数を代入してもNは素数にはならない。
なぜ？

洛星高等学校（改）

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
千葉大学過去問題

8 n^{3} + 40 n

が

2 n + 1

で割り切れるような自然数nをすべて求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜大阪大学2024年理系第5問〜互いに素な整数の個数

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