福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(1)〜命題の真偽と領域 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(1)〜命題の真偽と領域

問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{3}}$ (1)実数$x$, $y$に対する次の2つの条件を$p$, $q$を考える。ただし、$r$は正の定数である。
$p$:|$x+y$|≦3 かつ |$x-y$|≦3
$q$:$(x-1)^2$+$(y-1)^2$≦$r^2$
(i)命題「$p$ならば$q$」が真となるような$r$の最小値は$\sqrt{\boxed{\ \ メ\ \ }}$ である。
(ii)命題「$q$ならば$p$」が真となるような$r$の最大値は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ モ\ \ }}{\boxed{\ \ ヤ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ユ\ \ }}$ である。
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{3}}$ (1)実数$x$, $y$に対する次の2つの条件を$p$, $q$を考える。ただし、$r$は正の定数である。
$p$:|$x+y$|≦3 かつ |$x-y$|≦3
$q$:$(x-1)^2$+$(y-1)^2$≦$r^2$
(i)命題「$p$ならば$q$」が真となるような$r$の最小値は$\sqrt{\boxed{\ \ メ\ \ }}$ である。
(ii)命題「$q$ならば$p$」が真となるような$r$の最大値は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ モ\ \ }}{\boxed{\ \ ヤ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ユ\ \ }}$ である。
投稿日:2023.09.10

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問題文全文(内容文):
次の和を求めよ。
(1)
${}_{ n }C_0+{}_{ n }C_1+・・・+{}_{ n }C_n$

(2)
$\displaystyle \frac{1}{1!(2n)!}+\displaystyle \frac{1}{2(2n-1)!}+・・・+\displaystyle \frac{1}{n!(n+1)!}$

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問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{2}}$ $t$>0 に対して、次の2つの定積分を考える。
$I$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-tx}\sin xdx$, $J$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-tx}\cos xdx$
部分積分を用いれば$I$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$-$tJ$, $J$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$+$tI$ が成り立つことが分かるので、
$I$=$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$, $J$=$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
を得る。したがって、$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\frac{\log\boxed{\ \ エ\ \ }}{t}$=0 を用いれば、
$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\log\left(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-tx}\cos xdx-\frac{t}{\boxed{\ \ エ\ \ }}\right)$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$
となる。
$\boxed{\ \ ア\ \ }$、$\boxed{\ \ イ\ \ }$、$\boxed{\ \ ウ\ \ }$の解答群
⓪-1 ①1 ②2-$\pi$ ③$\pi$ ④1-$t$ ⑤1+$t$ 
⑥1-$t^2$ ⑦1+$t^2$ ⑧$-e^{-\frac{\pi}{2}t}$ ⑨$e^{-\frac{\pi}{2}t}$ 
$\boxed{\ \ ウ\ \ }$、$\boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
⓪$t$ ①1 ②-1$-te^{-\frac{\pi}{2}t}$ ③-1$+te^{-\frac{\pi}{2}t}$ ④1$-te^{-\frac{\pi}{2}t}$ 
⑤1$+te^{-\frac{\pi}{2}t}$ ⑥-$t$-$e^{-\frac{\pi}{2}t}$ ⑦-$t$+$e^{-\frac{\pi}{2}t}$ ⑧$t$-$e^{-\frac{\pi}{2}t}$ ⑨$t$+$e^{-\frac{\pi}{2}t}$
$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
⓪0 ①$-\frac{\pi}{2}$ ②$-\frac{\pi}{3}$ ③$-\frac{\pi}{4}$ ④$-\frac{\pi}{6}$ ⑤$-\frac{\pi}{12}$ ⑥$\frac{\pi}{6}$ 
⑦$\frac{\pi}{4}$ ⑧$\frac{\pi}{3}$ ⑨$\frac{\pi}{2}$ 
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