数学「大学入試良問集」【18−5 極大値をもつ条件】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \frac{a - \cos x}{a + \sin x}

が、

0 < x < \frac{π}{2}

の範囲で極大値をもつように、定数

a

の値の範囲を求めよ。
また、その極大値が2となるときの

a

の値を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#福島県立医科大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \frac{a - \cos x}{a + \sin x}

が、

0 < x < \frac{π}{2}

の範囲で極大値をもつように、定数

a

の値の範囲を求めよ。
また、その極大値が2となるときの

a

の値を求めよ。

投稿日：2021.07.04

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第5問〜媒介変数表示のグラフと回転体の体積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

x y

平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線を

C

とする。

{\begin{matrix} x = \sin t + \frac{1}{2} \sin 2 t \\ y = - \cos t - \frac{1}{2} \cos 2 t - \frac{1}{2} \end{matrix}

ただし、0≦

t

≦

π

とする。
(1)

y

の最大値、最小値を求めよ。
(2)

\frac{d y}{d t}

<0　となる

t

の範囲を求め、

C

の概形を

x y

平面上に描け。
(3)

C

を

y

軸のまわりに1回転してできる立体の体積

V

を求めよ。

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【数Ⅲ-158】定積分で表された関数①

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分で表された関数①)
Q.次の関数を

x

について微分せよ。ただし

a

は定数とする。

①

\int_{a}^{x} \frac{t}{1 + e^{2 t}} d t

➁

\int_{0}^{x} (x - t) e^{2 t} d t

③

\int_{0}^{2 x + 1} \frac{1}{t^{2} + 1} d t

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福田の数学〜九州大学2022年理系第５問〜媒介変数表示のグラフの対称性とグラフの追跡

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x y

平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第２問〜定積分と不等式

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
(1)定積分\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ。
(2)

x \neq 0

を満たすすべての実数xに対して、

e^{x} > 1 + x

と

e^{- x^{2}} < \frac{1}{1 + x^{2}}

が
成り立つことを証明せよ。
(3)

\frac{2}{3} < \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x < \frac{π}{4}

が成り立つことを証明せよ。

2022北里大学医学部過去問

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数学「大学入試良問集」【18−8 微分係数の定義】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京学芸大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

\sin x

について

x = a

における微分係数は

\cos a

であるが、これを定義に従って求めてみよう。
そのために次の順序で各問いに答えよ。
（1）

0 < x < \frac{π}{2}

のとき

0 < \sin x < x < \tan x

が成り立つことを図を用いて説明せよ。
（図は座標平面上の原点を中心とする半径1の円の第1象限の部分を用いよ。）

（2）

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

を示せ。

（3）
関数

f (x)

の

x = a

における微分係数

f^{'} (a)

の定義を述べ、その定義に従って

f (x) = \sin x

の場合に

f^{'} (a)

を求めよ。

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