問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_{ n }$の一般項を求めよ。
$a_{ 1 }=1, a_{ n+1}=a_{ n }+4$

$a_{ 1 }=1, a_{ n+1}=a_{ n }+3$

$a_{ 1 }=3, a_{ n+1}=a_{ n }-5$

問題文全文(内容文)：
ジョーカーを除く1組52枚のトランプのカードを1列に並べる思考を考える。
(1)番号7のカードが4枚連続して並ぶ確率を求めよ。
(2)番号7のカードが2枚ずつ隣り合い、4枚連続しては並ばない確率を求めよ。

8人の人が一列に並ぶとき、
(1)A,B,Cの3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。
(2)A,B,Cの3人が隣りあわないように並ぶ場合の数を求めよ。

2015北海道大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
nは自然数とする。座標平面上の3点(0,0),(3n,0)(0,n)を頂点とする三角形の周および内部にある格子点の個数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$

$0\lt p\lt 1$とする。

表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である

$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。

・ゲームの開始時点で点数は$0$点

・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
　裏が出たときは点数はそのまま

・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。

$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに

$n$点となっている確率を$Q_n$とする。

(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。

(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。

(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が

成り立つことを示せ。

$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$

必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを

証明なしで使ってもよい。

(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
数列 $ \large{ a }\scriptsize{ n } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n $ は増加することを証明せよ。