【数Ⅱ】【式と証明】恒等式2 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
次の等式が

x, y

についての恒等式となるように、定数

a, b, c

の値を定めよ。
(1)

x^{2} + y^{2} = a (x + y)^{2} + b (x - y)^{2}

(2)

x y = a (x + y)^{2} + b (x - y)^{2}

(3)

x^{2} + a x y + b x - 2 y + 2 = (x - 1) (x + 2 y + c)

チャプター：

0:00 オープニング
0:06 問題文
0:16 問題(1)解説
1:43 問題(2)解説
3:03 問題(3)解説

単元： #数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の等式が

x, y

についての恒等式となるように、定数

a, b, c

の値を定めよ。
(1)

x^{2} + y^{2} = a (x + y)^{2} + b (x - y)^{2}

(2)

x y = a (x + y)^{2} + b (x - y)^{2}

(3)

x^{2} + a x y + b x - 2 y + 2 = (x - 1) (x + 2 y + c)

投稿日：2024.12.14

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

実数a=

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

に対して、整式f(x)=

x^{2}

a x

+1を考える。
(1)整式

x^{4}

x^{3}

x^{2}

x

+1　はf(x)で割り切れることを示せ。
(2)方程式f(x)=0の虚数解であって虚部が正のものを

α

とする。

α

を極形式で表せ。ただし、

r^{5}

=1を満たす実数rがr=1のみであることは、認めて使用してよい。
(3)設問(2)の虚数

α

に対して、

α^{2023}

α^{- 2023}

の値を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

\frac{a + b + c + d}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c d}

　を既知として、

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}

　を証明せよ。
ただし、

a, b, c, d

は全て正の数であるとする。

2 1

を利用して、

n

個の変数の相加・相乗平均の関係を証明せよ。
つまり、

n

個の正の数

a_{1}, a_{2}, \cdot, a_{n}

に対して

\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

≧ \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}

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問題文全文(内容文)：
正の整数

m

,定数関数でない整式

P (x)

である.

\int_{0}^{x} {P (t)}^{m} d t = P (x^{3}) - P (0)

P (x)

を求めよ.

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　2つの関数
f(x)=

\cos x

,　g(x)=

\sqrt{\frac{π^{2}}{2} - x^{2} - \frac{π}{2}}

がある。
(1)0≦x≦

\frac{π}{2}

のとき、不等式

\frac{2}{π} x

≦

\sin x

が成り立つことを示せ。
(2)0≦x≦

\frac{π}{2}

のとき、不等式g(x)≦f(x)が成り立つことを示せ。
(3)0≦x≦

\frac{π}{2}

の範囲において、2つの曲線y=f(x), y=g(x)およびy軸が囲む部分の面積を求めよ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
'82横浜市立大学過去問題

n ≧ 2

自然数

\frac{x^{2 n}}{2 n + 1} - \frac{x^{n + 1}}{n + 2} + \frac{x^{n - 1}}{n} - 1 = 0

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