問題文全文(内容文)：
商の微分の導出について解説します。

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$\boxed{1}$

(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および

第$2$次導関数$f''(x)$をもち、

すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。

さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$

このとき、

$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、

関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする

$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。

(2)実数$x$を変数とする関数

$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$

はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。

また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。

(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。

$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し

小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。

$2025$年名古屋大学理系過去問題

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$\boxed{1}$

$k$を実数とする。

$f(x)$と$g(x)$を

$f(x) = \vert x^3-x \vert,\quad g(x)=k(x+1)$

とおき、曲線$y=f(x)$を$C$、

直線$y=g(x)$を$\ell$とする。以下の問いに答えよ。

(1)曲線$C$の概形をかけ。

ただし、関数$f(x)$の極大値を調べる必要はない。

(2)曲線$C$と直線$\ell$がちょうど$4$つの

共有点をもつような$k$の値を求めよ。

$2025$年神戸大学理系過去問題

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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{dx}{dt}=4y-\cos t \\
\dfrac{dy}{dt}=-x+\sin t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$

これを解け.

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非同次2階微分方程式を解説していきます.