福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題047〜慶應義塾大学2019年度総合政策学部第３問〜立方体の内部を面に接しながら動く球の通過できない領域

問題文全文(内容文)：
一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHの内部に半径rの球

S (r > 0)

が
存在する。球Sは立方体ABCD-EFGHの少なくとも1つの面と接しながら動く。
このとき、立方体ABCD-EFGHの内部で球Sが通過しえない領域の体積Vは

(i) 0 < r < \frac{ア}{イ}

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ウ エ オ + \frac{カ キ}{ク ケ} π) r^{3} +

(コ サ シ + ス セ π) r^{2}

+ ソ タ チ r + ツ テ

(ii) \frac{ア}{イ} ≦ r ≦ 1

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ト ナ ニ + \frac{ヌ ネ}{ノ ハ} π) r^{3} +

(ヒ フ ヘ + ホ マ π) r^{2}

2019慶應義塾大学総合政策学部過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHの内部に半径rの球

S (r > 0)

が
存在する。球Sは立方体ABCD-EFGHの少なくとも1つの面と接しながら動く。
このとき、立方体ABCD-EFGHの内部で球Sが通過しえない領域の体積Vは

(i) 0 < r < \frac{ア}{イ}

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ウ エ オ + \frac{カ キ}{ク ケ} π) r^{3} +

(コ サ シ + ス セ π) r^{2}

+ ソ タ チ r + ツ テ

(ii) \frac{ア}{イ} ≦ r ≦ 1

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ト ナ ニ + \frac{ヌ ネ}{ノ ハ} π) r^{3} +

(ヒ フ ヘ + ホ マ π) r^{2}

2019慶應義塾大学総合政策学部過去問

投稿日：2023.01.01

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単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

原点をOとする

x y

平面上に円

x^{2}

y^{2}

－

12 y

=0 があり、円の中心をPとする。
円周上に動点Qがあり、半直線POを始線とする動径PQの回転角を

θ

とする。
ただし、

θ

は

- \frac{π}{2}

＜

θ

＜

\frac{π}{2}

を満たす実数とする。
(1)直線PQを表す方程式は、

θ

=0 のとき

ソ

であり、

θ

≠0 のとき

タ

である。
(2)点Qを通る放物線

y

a x^{2}

b

をおく。点Qにおける放物線の接線は、点Qにおける円の接線と一致する。ただし、

a

b

は実数であり、

a

は

a

＞0 を満たす。
(i)

θ

≠0 のとき

a

と

b

を

θ

で表すと、

a

チ

b

ツ

である。
(ii)

θ

- \frac{π}{3}

のとき、直線PQと放物線で囲まれる部分の面積は

テ

である。

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福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜点の軌跡(1)

単元： #数Ⅱ#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点zが次の方程式を満たすとき、点zはどのような図形を描くか。
(1)

| z - 1 | = | z + i |

(2)

| 2 z - 1 - i | = 4

(3)

| 2 \bar{z} - 1 + i | = 4

(4)|

z + 2 | = 2 | z - 1 |

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18愛知県教員採用試験（数学：8番面積の最小値）

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1,0)を通る直線lと

y = x^{2} - 2

で囲まれる図形の面積Sの最小値を求めよ。

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和歌山大　４次関数と接線高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#岡山大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
94年　和歌山大学過去問

f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d

と

y = m x

は2点P、Qで接している。
P、Qの

ｘ

座標はそれぞれ、-1、２で

f (x)

は

x = 1

で極大値をとる。

(1)

f (x)

と

y = m x

で囲まれる面積を求めよ

(2)

m

の値と極大値を求めよ

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int l o g (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x

出典：2022年筑波大学

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