福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題047〜慶應義塾大学2019年度総合政策学部第３問〜立方体の内部を面に接しながら動く球の通過できない領域

問題文全文(内容文)：
一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHの内部に半径rの球

S (r > 0)

が
存在する。球Sは立方体ABCD-EFGHの少なくとも1つの面と接しながら動く。
このとき、立方体ABCD-EFGHの内部で球Sが通過しえない領域の体積Vは

(i) 0 < r < \frac{ア}{イ}

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ウ エ オ + \frac{カ キ}{ク ケ} π) r^{3} +

(コ サ シ + ス セ π) r^{2}

+ ソ タ チ r + ツ テ

(ii) \frac{ア}{イ} ≦ r ≦ 1

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ト ナ ニ + \frac{ヌ ネ}{ノ ハ} π) r^{3} +

(ヒ フ ヘ + ホ マ π) r^{2}

2019慶應義塾大学総合政策学部過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHの内部に半径rの球

S (r > 0)

が
存在する。球Sは立方体ABCD-EFGHの少なくとも1つの面と接しながら動く。
このとき、立方体ABCD-EFGHの内部で球Sが通過しえない領域の体積Vは

(i) 0 < r < \frac{ア}{イ}

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ウ エ オ + \frac{カ キ}{ク ケ} π) r^{3} +

(コ サ シ + ス セ π) r^{2}

+ ソ タ チ r + ツ テ

(ii) \frac{ア}{イ} ≦ r ≦ 1

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

V = (ト ナ ニ + \frac{ヌ ネ}{ノ ハ} π) r^{3} +

(ヒ フ ヘ + ホ マ π) r^{2}

2019慶應義塾大学総合政策学部過去問

投稿日：2023.01.01

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(3)関数

f (x) = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3 x^{3} - 2 x^{2}}

と

g (x) = \log_{9} (3 x^{2} - 2)

の定義域をそれぞれ
集合A,Bで表すと、

Extra \left or missing \right

を満たす実数である。
実数xが集合

A \cap B

の要素であるとき、

f (x) + g (x) < 0

となるための条件は

オ < x < カ

または

x > キ

となることである。

2022慶應義塾大学医学部過去問

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
京都大学過去問題

0 ≦ α ＜ β ＜ γ ＜ 2 π

c o s α + c o s β + c o s γ = 0

s i n α + s i n β + s i n γ = 0

である
β-α、γ-βの値を求めよ。

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福田のわかった数学〜高校２年生010〜不等式の証明

単元： #数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

II

　不等式の証明

k

が

(1) (2) (3)

のそれぞれの場合に、不等式

x^{2} + y^{2} + z^{2}

+ k (x y + y z + z x) ≧ 0

が成り立つことを示せ。等号成立条件も求めよ。
(1)

k = 2

　　(2)

k = - 1

　　(3)

- 1 < k < 2

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福田の数学〜筑波大学2022年理系第１問〜円と放物線の接線と面積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

t, p

を実数とし、

t > 0

とする。xy平面において、原点Oを中心とし点A(1,t)
を通る円を

C_{1}

とする。また、点Aにおける

C_{1}

の接線をlとする。直線

x = p

を軸とする2次関数のグラフC_2は、x軸と接し、点Aにおいて直線lとも接するとする。
(1)直線

l

の方程式をtを用いて表せ。
(2)pをtを用いて表せ。
(3)

C_{2}

とx軸の接点をMとし、

C_{2}

とy軸の交点をNとする。tが正の実数全体を動くとき、
三角形OMNの面積の最小値を求めよ。

2022筑波大学理系過去問

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【数学Ⅱ/積分】原始関数を求める

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指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：

F^{'} (x) = 6 x^{2} + 4 x + 3, F (0) = 1

を満たす関数

F (x)

を求めよ。

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