問題文全文(内容文)：
$Z=\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }+i}{\sqrt{ 3 }-i}$

$Z+Z^2+Z^3+…+Z^{100}$

出典：2002年甲南大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{10}$ $z=cosθ+isinθ$
$0 < θ \leqq \pi$
$w=\frac{1-z^3}{1-z}$ , $|w|=1$
のときθの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$3$つの複素数 $z_1, z_2, z_3$に関する条件$P$を次のように定める。
P: 「$z_1, z_2, z_3$はどれも0ではなく、互いに異なり、かつ$ \{{z_1}^n | n は整数\} = \{{z_2}^n | nは整数\} = \{{z_3}^n |n は整数\}$
である。」
次の問いに答えよ。
(1) $3$つの複素数 $z_1,z_2,z_3$が条件$P$を満たしているとする。このとき$ |z_1| = 1$ であることを示せ。また集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数は有限であることを示せ。
(2) 条件$P$を満たす3つの複素数 $z_1,z_2,z_3$のうち、集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数が最小となるものを考える。このとき集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ $i$を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。
(1)等式|$z$+2|=2|$z$-1| を満たす点$z$の全体が表す図形は円であることを示し、その中心と半径を求めよ。
(2)等式
$\left\{|z+2|-2|z-1|\right\}$$|z+6i|$=$3\left\{|z+2|-2|z-1|\right\}$$|z-2i|$
を満たす点$z$の全体が表す図形をSとする。このときSを複素数平面上に図示せよ。
(3)点$z$が(2)における図形S上を動くとき、$w$=$\frac{1}{z}$ で定義される点$w$が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2023筑波大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle
\fcolorbox{#000}{ #fff }{3}
整数からなる数列\{a_n\} \ (n=1,2,3,...)を次の規則1、2により定める。
$

$\displaystyle
(規則1)a_1=0 , \ a_2=1である。
$

$
\displaystyle(規則2)k=1,2,3,...について、初項から第2^{k+1}項までに値のそれぞれに1を加え、\\ それらすべてを逆の順序にしたものが第2^k+1項から第2^{k+1}項までの値と定める。
$

$\displaystyle
(1)以上の規則により得られる数列\{ a_n \}において、a_{10}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ア \ \ \ $}であり、a_{16}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$イ \ \ \ $}である。 \\
また第2^k項(k=5,6,7,...)の値は\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ウ \ \ \ $}である。
$

$\displaystyle
(2)a_{518}を求めたい。上記の規則2によれば、1 \leqq i \leqq 2^kを満たすiに対して、 \\
a_iに1を加えた数と第
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$エ \ \ \ $}
項が、等しいと定めている。 \\
実際に、2^b < 518 \leqq 2^{b+1}を満たすような整数bは
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$オ \ \ \ $}
であることに注意すれば、a_{518}=
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$カ \ \ \ $}
である。
$

$\displaystyle
(3)点O_k(k=1,2,3,...)を次のように定める。\\
数列 \{ a_n \}の初項から第2^k項に着目し、a_nを4で割った余りにしたがって、ベクトル\vec{e_n}を
$

$
\vec{e_n}=
\left\{
\begin{array}{l}
(1,0) \quad a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) \quad a_nを4で割った余りが1のとき \\
(-1,0) \quad a_nが4で割った余りが2のとき \\
(0,-1) \quad a_nを4で割った余りが3のとき
\end{array}
\right.
$

$
\displaystyle
によって定め、\\
点P_1の位置ベクトルを\overrightarrow{OP_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}とし、\\
点P_k(k=2,3,4,...)の位置ベクトルを\\
\overrightarrow{OP_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+...+\vec{e_{2^k}}とする。\\
たとえば、 \\
\overrightarrow{OP_w}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)である。\\
\{a_n\}を定める規則に注目すると、 \\
\overrightarrow{OP_{k+1}} は \overrightarrow{OP_k} の\fcolorbox{#000}{ #fff }{$キ \ \ \ $}倍であり、\\
\angle P_kOP_{k+1}=\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ク \ \ \ $}である。\\
このことから\\
\overrightarrow{OP_{99}}=(\fcolorbox{#000}{ #fff }{$ケ \ \ \ $},\fcolorbox{#000}{ #fff }{$コ \ \ \ $})である。
$