ちょっと複雑な漸化式

問題文全文(内容文)：
一般項を求めよ.

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 30_{n} - 4 n + 2^{n} + 4

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
一般項を求めよ.

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 30_{n} - 4 n + 2^{n} + 4

投稿日：2021.09.28

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

S_{n} = 2 a_{n} - n^{2}

のとき
一般項

a_{n}

を求めよ。

出典：2020年岡山県立大学　入試問題

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
正四面体ABCDの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、
隣の3頂点のいずれかに等しい確率

\frac{a}{3}

で移るか、もとの頂点に確率1-aで
留まる。初め頂点Aにいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率を

p_{n}

とする。
ただし、

0 < a < 1

とし、nは自然数とする。

(1)数列

{p_{n}}

の漸化式を求めよ。
(2)確率

p_{n}

を求めよ。

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秋田大（医）数列の和　Σ　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
秋田大学過去問題

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} (a_{k} + \frac{1}{k + 1}) = 2^{n} + 1 - \frac{1}{n + 1}

(1)数列{

a_{n}

}の一般項をnを用いて表せ。
(2)

\sum_{k = 1}^{n} a_{k}

を求めよ。

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単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#数列#漸化式#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x_{0} = 0, y_{0} = - 1

のとき、非負整数

n ≧ 0

に対して、

x_{n + 1} = (\cos \frac{3 π}{11}) x_{n} - (\sin \frac{3 π}{11)} y_{n}

y_{n + 1} = (\cos \frac{3 π}{11}) x_{n} + (\sin \frac{3 π}{11)} y_{n}

のとき、

x_{n}

が最小となる最初のnを求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

に対して

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

とし、さらに

S_{0} = 0

と定める。

{a_{n}}

は

S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (n + 3) a_{n + 1}

(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)

a_{1} = \frac{ア}{イ}

である。また、

n ≧ 1

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから、関係式

(n + ウ) a_{n + 1} = (n + エ) a_{n} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

・・・(*)が得られる。数列

{b_{n}}

を

b_{n} = n (n + 1) (n + 2) a_{n} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定めると、

b_{1} = オ

であり、

n ≧ 1

に対して

b_{n + 1} = カ b_{n}

が成り立つ。ゆえに

a_{n} = \frac{キ}{n (n + 1) (n + 2)}

が得られる。
次に、数列

{T_{n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{(k + 3) (k + 4)} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定める。
(2)(*)より導かれる関係式

\frac{a_{k}}{k + 3} - \frac{a_{k + 1}}{k + 4} = \frac{ク a_{k}}{(k + 3) (k + 4)} (k = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を用いると

T_{n} = A - \frac{ケ}{コ (n + p) (n + q) (n + r) (n + s)} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

が得られる。ただしここに

A = サ シ ス

であり、

p < q < r < s

として

p = セ, q = ソ, r = タ, s = チ

である。
(3)不等式

| T_{n} - A | < \frac{1}{10000 (n + 1) (n + 2)}

を満たす最小の自然数

n は n = ツテ

である。

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