問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III}　平均値の定理(1)\\
0 \lt a \lt b　のとき\\
1-\frac{a}{b} \lt \log b-\log a \lt \frac{b}{a}-1\\
を証明せよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ xy平面上の放物線P:y^2=4x上に異なる2点A,Bをとり、A,Bそれぞれに\\
おいてPへの接線と直交する直線をn_A,\ n_Bとする。aを正の数として、点Aの座標\\
を(a,\ \sqrt{4a})とするとき、以下の各問いに答えよ。\\
(1)\ n_Aの方程式を求めよ。\\
(2)直線ABと直線y=\sqrt{4a}とがなす角の2等分線の一つが、n_Aに一致する\\
とき、直線ABの方程式をaを用いて表せ。\\
(3)(2)のとき、点Bを通る直線r_Bを考える。r_Bと直線ABとがなす角の\\
2等分線の一つが、n_Bに一致するとき、r_Bの方程式をaを用いて表せ。\\
(4)(3)のとき、直線ABと放物線Pで囲まれた図形の面積をS_1とし、Pと直線\\
y=\sqrt{4a}、直線x=-1および(3)のr_Bで囲まれた図形の面積をS_2とする。\\
aを変化させたとき、\frac{S_1}{S_2}の最大値を求めよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III}　連続と微分可能(3)\\
f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x\sin\displaystyle\frac{1}{x}　(x≠0)\\
0　　　　(x=0)\\
\end{array}\right.　　のx=0に\\
おける連続性、微分可能性を調べよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
曲線$y=\dfrac{\log(ax)}{x^2}$の傾きが$9e^2$の接線が原点を通るとき、正の定数$a$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}\\
(1)aは0 \lt a \leqq \frac{1}{2}を満たす定数とする。x \geqq 0の範囲で不等式\\
a\left(x-\frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)　が成り立つことを示しなさい。\\
\\
(2)bを実数の定数とする。x \geqq 0の範囲で不等式\\
\log\left(1+\frac{1}{2}x\right) \leqq bx\\
が成り立つようなbの最小値は\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
\\
(3)nとkを自然数とし、I(n,k)=\lim_{t \to +0}\int_0^{\frac{k}{n}}\frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx\\
とおく。I(n,k)を求めると、I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }である。また\\
\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }　である。
\end{eqnarray}