問題文全文(内容文)：
nを2以上20以下の整数、kを1以上n-1以下の整数とする。

${}_{n+1} \mathrm{ C }_{k+1}$＝$2({}_n \mathrm{ C }_{k-1}＋{}_n \mathrm{ C }_{k＋1})$

が成り立つような整数の組(n,k)を求めよ。

一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
2023信州大学過去問題
x,y実数
x+y=6
$3^x+27^y$の最小値

問題文全文(内容文)：
$m,n$正の整数
$m^2-n^2=10!$を満たす$(m,n)$の組は何組？

出典：2024年一橋大学後期数学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 実数$a$に対して$f(a)$=$\displaystyle\frac{1}{2}(2^a-2^{-a})$とおく。また、$A$=$2^a$とする。
(1)等式$\displaystyle\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$=$\displaystyle\boxed{\ \ ア\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)^3$－$\displaystyle\boxed{\ \ イ\ \ }\left(A-\frac{1}{A}\right)$　より、実数$a$に対して
$\left\{f(a)\right\}^3$=$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}f(3a)$－$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}f(a)$　...①が成り立つ。
(2)実数$a$,$b$に対して$f(a)$=$b$が成り立つならば、$A$=$2^a$は2次方程式
$A^2$－$\boxed{\ \ キ\ \ }bA$－$\boxed{\ \ ク\ \ }$=0
を満たす。$2^a$>0より、$a$は$b$を用いて
$a$=$\log_2\left(\boxed{\ \ ケ\ \ }b+\sqrt{b^2+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して$f(a)$=$b$となる実数$a$が、ただ1つに定まる。
以下、数列$\left\{a_n\right\}$に対して$f(a_n)$=$b_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{b_n\right\}$が、関係式
$4b_{n+1}^3$+$3b_{n+1}$－$b_n$=0　($n$=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から$f\left(\boxed{\ \ サ\ \ }a_{n+1}\right)$=$f(a_n)$　($n$=1,2,3,...)となるので、(2)より、
$a_n$=$\displaystyle\frac{a_1}{\boxed{\ \ シ\ \ }^{n-p}}$　($n$=1,2,3,...)が得られる。ここで、$p$=$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
(4)$n$≧2に対して、$S_n$=$\displaystyle\sum_{k=2}^n3^{k-1}b_k^3$　とおく。$c_n$=$3^nb_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{c_n\right\}$の階差数列を用いると、③より、
$S_n$=$\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}b_1$－$\frac{\boxed{\ \ タ\ \ }^n}{\boxed{\ \ チ\ \ }}b_n$　($n$=2,3,4,...)
となる。ゆえに、$b_1$=$\displaystyle\frac{4}{3}S_5$－108　が成り立つならば$a_1$=$\boxed{\ \ ツテト\ \ }\log_2\boxed{\ \ ナ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}\ \cos\displaystyle \frac{k\pi}{n}=0$を示せ

出典：2020年信州大学　入試問題　後期