【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ3 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
次の関数

f (x)

について、

f^{'} (0) = f^{″} (0) = 0

であることを示せ。また、

f (x)

は

x = 0

で極値をとるかどうかを調べよ。
(1)　

f (x) = x^{4}

(2)　

f (x) = x^{2} \sin x

チャプター：

0:00　オープニング
0:03　問題概要
0:25　(1)解説
1:40　(2)解説

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数

f (x)

について、

f^{'} (0) = f^{″} (0) = 0

であることを示せ。また、

f (x)

は

x = 0

で極値をとるかどうかを調べよ。
(1)　

f (x) = x^{4}

(2)　

f (x) = x^{2} \sin x

投稿日：2025.03.05

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数Ⅲ(定積分で表された関数①)
Q.次の関数を

x

について微分せよ。ただし

a

は定数とする。

①

\int_{a}^{x} \frac{t}{1 + e^{2 t}} d t

➁

\int_{0}^{x} (x - t) e^{2 t} d t

③

\int_{0}^{2 x + 1} \frac{1}{t^{2} + 1} d t

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　微分(12)　微分計算

y = \sqrt[3]{\frac{2 x + 1}{x (x - 2)^{2}}}

を微分せよ。

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問題文全文(内容文)：
xの関数yが、

θ

を媒介変数として、

x = \cos θ - 1 、 y = 2 \sin θ + 1

と表される時、

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を

θ

の関数として表そう。

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問題文全文(内容文)：

5

x

≧2 を満たす実数

x

に対し、

f (x)

\frac{\log (2 x - 3)}{x}

とおく。必要ならば、

lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}

=0 であること、および自然対数の底

e

が2＜

e

＜3 を満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1)

f^{'} (x)

\frac{g (x)}{x^{2} (2 x - 3)}

とおくとき、関数

g (x)

(

x

≧2)を求めよ。
(2)(1)で求めた関数

g (x)

に対し、

g (α)

=0 を満たす2以上の実数

α

がただ一つ存在することを示せ。
(3)関数

f (x)

(

x

≧2)の増減と極限

lim_{t \to \infty} f (x)

を調べ、

y

f (x)

(

x

≧2)のグラフの概形を

x y

平面上に描け。ただし(2)の

α

を用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4)2≦

m

＜

n

を満たす整数

m

n

の組(

m

n

)に対して、等式
(＊)

(2 m - 3)^{n}

(2 n - 3)^{m}

が成り立つとする。このような組(

m

n

)をすべて求めよ。

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問題文全文(内容文)：

\int_{\frac{π}{2}}^{π} x (\cos 2 x - \sin 2 x) d x

出典：2007年青山学院大学　入試問題

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