福田の数学〜早稲田大学2025教育学部第4問〜共有点の個数と面積計算 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜早稲田大学2025教育学部第4問〜共有点の個数と面積計算

問題文全文(内容文):

$\boxed{4}$

$k$は実数とする。

曲線$C:y=(x^3-x+2)e^{-x}$と直線$y=k$との

共有点の偶数を$f(k)$で表す。次の問いに答えよ。

ただし、必要ならば自然数$n$に対し

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}=0$が成り立つことは

説明なしに用いてもよい。

(1)$k$が実数全体を動くとき、

$f(k)$の最大値の最小値を求めよ。

(2)$f(k)=2$を満たす$k$の値の範囲を求めよ。

(3)$\alpha$を正の実数とする。

曲線$C,x$軸,$y$軸,および直線$x=\alpha$で囲まれる

部分の面積を$\alpha$を用いて表せ。

$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):

$\boxed{4}$

$k$は実数とする。

曲線$C:y=(x^3-x+2)e^{-x}$と直線$y=k$との

共有点の偶数を$f(k)$で表す。次の問いに答えよ。

ただし、必要ならば自然数$n$に対し

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}=0$が成り立つことは

説明なしに用いてもよい。

(1)$k$が実数全体を動くとき、

$f(k)$の最大値の最小値を求めよ。

(2)$f(k)=2$を満たす$k$の値の範囲を求めよ。

(3)$\alpha$を正の実数とする。

曲線$C,x$軸,$y$軸,および直線$x=\alpha$で囲まれる

部分の面積を$\alpha$を用いて表せ。

$2025$年早稲田大学教育学部過去問題
投稿日:2025.07.23

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{2}$ (1)$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$のとき、関数$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$は$\boxed{\ \ サ\ \ }$する。このことより、
$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$では$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$≦$\boxed{\ \ シ\ \ }$+0.05 が成り立つ。
$\boxed{\ \ サ\ \ }$の解答群
ⓐ 区間$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$で増加 ⓑ区間$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$で減少
ⓒ区間$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{8}$で増加し、区間$\displaystyle\frac{\pi}{8}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$で減少
ⓓ区間$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{8}$で減少し、区間$\displaystyle\frac{\pi}{8}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$で増加
ⓔ区間$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$で増加し、区間$\displaystyle\frac{\pi}{2}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$で減少
ⓕ区間$\displaystyle\frac{\pi}{12}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$で減少し、区間$\displaystyle\frac{\pi}{2}$≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{6}$で増加

$\boxed{\ \ シ\ \ }$の解答群
ⓐ0.8 ⓑ0.85 ⓒ0.9 ⓓ0.95 ⓔ1 ⓕ1.05 ⓖ1.1 ⓗ1.15

(2)底面が正五角形PQRSTで、側面が正三角形である正五角錐をKとする。ただし、Kの各辺の長さを1とする。底面にはないKの頂点をAとし、線分PQの中点をMとする。また線分PSの長さは$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。これより、$\cos\angle SAM$の値は
$\boxed{\ \ セ\ \ }$-0.025≦$\cos\angle SAM$<$\boxed{\ \ セ\ \ }$+0.025
を満たす。さらに、(1)の$\displaystyle\frac{\sin x}{x}$についての結果より、$\angle SAM$の大きさは
$\boxed{\ \ ソ\ \ }$-1.5°≦$\cos\angle SAM$<$\boxed{\ \ ソ\ \ }$+1.5°
を満たす。
なお、必要ならば$\sqrt 2$=1.41..., $\sqrt 3$=1.73..., $\sqrt 5$=2.23... を用いてよい。

$\boxed{\ \ ス\ \ }$の解答群
ⓐ$\sqrt 2$ ⓑ$\sqrt 3$ ⓒ$\sqrt 5$ ⓓ$\displaystyle\frac{1+\sqrt 2}{2}$ 
ⓔ$\displaystyle\frac{1+\sqrt 3}{2}$ ⓕ$\displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}$ ⓖ$\displaystyle\frac{\sqrt 2+\sqrt 3}{2}$ ⓗ$\displaystyle\frac{\sqrt 2+\sqrt 5}{2}$ 
ⓘ$\displaystyle\frac{\sqrt 3+\sqrt 5}{2}$ ⓙ$\displaystyle\frac{\sqrt 2+\sqrt 3}{3}$ ⓚ$\displaystyle\frac{\sqrt 2+\sqrt 5}{3}$ ⓛ$\displaystyle\frac{\sqrt 3+\sqrt 5}{3}$
 
$\boxed{\ \ セ\ \ }$の解答群
ⓐ-0.4 ⓑ-0.35 ⓒ-0.3 ⓓ-0.25 ⓔ-0.2 ⓕ-0.15 ⓖ-0.1 

$\boxed{\ \ ソ\ \ }$の解答群
ⓐ105° ⓑ108° ⓒ111° ⓓ114° ⓔ117° ⓕ120° 
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◎3次方程式$x^3+3x^2-a=0$について、次の問いに答えよう。

①異なる3個の実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよう。

②異なる2個の実数解をもつように、定数aの値を定めよう。

③ただ1個の実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよう。
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