問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1)AB=15, AC=7, ∠BAC=60°の△ABCがある。辺BCの長さと△ABCの内接円の半径を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。xの2次方程式x2-ax-a-9=0が-2より小さい解と3より大きい解をもつようなの値の範囲を求めよ。
(3)方程式x3+3x2+2x-6=0を複素数の範囲で解け。
(4)座標平面上の直線y=x上の点で、直線x+2y-4=0までの距離が√5である点の座標をすべて求めよ。
(5)方程式4^(x+1)+7・2^x-2=0を解け。
(6)不等式log₂x+1≧log₂(2-x)を解け。

大問2:三角関数
aを正の定数とし、関数f(θ)をf(θ)=2sin²θ+2√3sinθcosθ+a(√3sinθ+cosθ)-6a²+1とする。
(1)√3sinθ+cosθをrsin(θ+α)の形に表せ。ただし、r＞0,-π＜α≦πとする。
(2)t=√3sinθ+cosθとおくとき、f(θ)をtの2次式で表せ。
(3)方程式f(θ)=0(0≦θ≦π)…(*)について考える。
(i)a=1のとき、(*)を解け。
(ii)(*)の異なる解の個数がちょうど2個となるようなaの値の範囲を求めよ。

大問3:場合の数
A,B,Cの3人を含む9人の生徒について考える。
(1)4人と5人の2つの組に分けるとき、分け方は何通りあるか。
(2)3人ずつ3つの組に分けるとき、
(i)分け方は全部で何通りあるか。
(ii)AとBが同じ組に入る分け方は何通りあるか。
(3)「9人を3人ずつ3つの班に分けて、それぞれの班で1人ずつ班長を選ぶこと」を班決めということにする。その際、AとBが同じ班に入るときAは班長になることができず、BとCが同じ班に入るときBは班長になることができないものとする。
(i)AとBが同じ班に入り、Cは別の班に入る班決めの仕方は何通りあるか。
(ii)班決めの仕方は全部で何通りあるか。

大問4:微分法
t＞0とする。f(x)=x⁴-6x²とし、曲線C:y=f(x)上の点P(t,f(t))におけるCの接線をlとする。
(1)t=1のときのlの方程式を求めよ。また、このときlとCのP以外の共有点の座標を求めよ。
(2)lとCがP以外に異なる2つの共有点をもつようなtの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、lとCのP以外の2つの共有点をQ(α,f(α)), R(β,f(β))(a＜β)とし、3点P, Q, RにおけるCの接線の傾きをそれぞれmP、mQ、mRとする。このとき、mP+mQ+mRのとり得る値の範囲を求めよ。

大問5:数列
数列{a[n]}(n=1,2,3,…)は公差が正の等差数列でa₁+a₂+a₃=-3. a₁a₃=-3を満たし、数列{b[n]}は
b₁=-1, b[n+1]=│b[n]│+a[n] (n=1,2,3,…)を満たしている。
(1)数列{a[n])の一般項を求めよ。
(2)b₂、b₃を求めよ。また、b≧0となるようなnの値の範囲を求めよ。
(3)n≧4のとき、数列{b[n]}の一般項を求めよ。
(4)n≧4のとき、∑[k=1～n]b[k]を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式$2x^2-3x+1＜0$を解け。
(2)$(3x+y{)}^4$を展開したときの$x^2{y}^2$の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線$l_1:3x-y+5=0,l_2:mx+2y+4=0$が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式$4^x=2\sqrt{2}$を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条件でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$P(x)=x^3+(2a-1)x^2-(a^2+2a-2)x+b$があり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、${\displaystyle \frac{y-a}{x-2}}$の最大値をM(a)とする。M($\frac{1}{2}$)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=$\frac{\pi }{2}$,∠AOB=θ(0＜θ＜$\frac{\pi }{4}$)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) $B{P}^2$をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜$\frac{\pi }{4}$の範囲を変化するとき、$B{P}^2$の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜$\frac{\pi }{4}$の範囲を変化するとき、$B{P}^2$のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=x^3+k{x}^2-kx+k^2$がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列{$a_n$}を$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}},a_2=\sqrt{2},a_{n+2}{a}_{n+1}-a_{n+1}{a}_n=n+1(n=1,2,3,...)$により定める。また、数列{$b_n$}を$b_n=a_{n+1}{a}_n(n=1,2,3,･･･)$により定める。
(1)$b_1$を求めよ。また、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(2)数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
(3)$c_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{a}_n}{n}(n=1,2,3,\dots )}$とおく。$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ。また、数列{$c_n$}の一般項を求めよ。
(4)$a_n＞50$を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、${\displaystyle \sum _{k=1}^N\frac{2k+1}{{a_{n+1}}^2{a}_n²}}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1
(1)　袋の中に5枚のコインが入っており、そのうち2枚には両面にAが書かれており、残り3枚には片面にA、もう一方の面にBが書かれている。
(ⅰ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になる確率を求めよ。
(ⅱ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になった。このとき、下の面にもAが書かれている確率を求めよ。
(2)　多項式$(x-1{)}^{99}$を$x^2$で割った時の余りを求めよ。また、整数${99}^{99}$を10000で割った時の余りを求めよ。
(3)　${12}^{12}$の桁数を求めよ。
(4)${\displaystyle z=\frac{-\sqrt{3}+i}{1+i}}$とする。
(ⅰ)zを極形式で表せ。
(ⅱ)nを正の整数とする。$z^n$が実数となるような最小のnを求めよ。

大問2
　数列$a_n$の初項$a_1$から第n項$a_n$までの和を$S_n$、数列$b_n$の初項$b_1$から第n項$b_n$までの和を$T_n$をとするとき
$a_1=2、b_1=0、a_{n+1}=2T_n+2、b_{n+1}=2S_n$　が成り立つ。
(1)　$a_2、b_2$を求めよ
(2)　$a_{n+1}、b_{n+1}$を$a_n、b_n$を用いて表せ。
(3)　一般項$a_n$を求めよ。

大問3
　aは実数の定数とし、関数f(x)を
$f(x)=e^{-x}(a-sinx-cosx) (0＜x＜2\pi )$により定める。
(1)f(x)が極値を持つとき、aの値の範囲を求めよ。
(2)f(x)が極値を2つ持つときを考える。極値の積が負となるとき、aの値の範囲を求めよ。また、極値の積が${\displaystyle \frac{-e^{-3\pi }}{2}}$となるときのaの値を全て求めよ。

大問4
AB=1、AC=3、BC=$2\sqrt{3}$である三角形ABCがある。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}、\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$とする。
(1)　内積$\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}$の値を求めよ。
(2)　s,tを実数とし、$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$とする。AB⊥BP、AC⊥CPであるとき、s,tの値を求め、さらに｜$\overrightarrow{AP}$｜を求めよ。
(3)点Qが三角形ABCの外接円上を動くとき、三角形BCQの面積を最大にするQを$Q_0$とする。$\overrightarrow{A{Q}_0}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

大問5
　$0\leqq x＜\pi$において定義された関数
$f(x)={\displaystyle \frac{2sinx}{1+cosx}、g(x)=\frac{\sqrt{3}}{1+cosx}}$　
があり、曲線y=f(x)を$C_1$、曲線y=g(x)を$C_2$とする。
(1)　$C_1、C_2$の共有点のx座標を求めよ
(2)(ⅰ)不定積分$\int f(x)dx$を求めよ
(ⅱ)$tan\frac{2}{x}$の導関数をcosxを用いて表せ
(3)$C_1、C_2$およびy軸の3つで囲まれる部分の面積を$S_1$とし、$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする。$S_1$と$S_2$の大小を比較せよ。ただし、自然対数の底eについて、2.7＜e＜2.8であることは用いてよい。

大問6
正の整数Nを3で割った時の余りは2である。
(1)正の整数a,bを3で割った時の余りをそれぞれ$r_a、r_b$とする。ab=Nが成り立つとき、$r_a、r_b$の組をすべて求めよ。
(2)Nの正の約数の総和を3で割った時の余りを求めよ。
(3)Nの正の約数の逆数の総和を${\displaystyle \frac{q}{p}}$（ただし、pとqはともに正の整数で最大公約数は1である）と表したとき、qは3の倍数であることを示せ。

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
(1)$(3x-1)(9x^2+3x+1)$を展開せよ。
(2)${\displaystyle \frac{x-1}{1+\frac{1}{x+2}}}$を簡単にせよ。
(3)2次関数$y=2x^2-x+1$の最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。${\displaystyle \frac{(2+i{)}^2}{i}}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=4,BC=\sqrt{7},CA=\sqrt{3}$である△ABCにおいて、cos∠BACの値と△ABCの面積を求めよ。
(6)a,a,b,b,c,cの6文字を1列に並べるとき、並べ方は全部で何通りか。このうち、a,aが隣り合わないような並べ方は何通りか。

第2問-i：2次不等式
aは正の定数とする。実数xについての2つの不等式 $a{x}^2+(2a-5)x-2a+1＜0$･･･①、$│2x-3│\leqq 3$･･･②がある。
(1)a=2のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべての実数xに対して、①が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

第2問-ii：図形と方程式
xy平面上に、2つの円$C₁:x^2+y^2-10x-a^2-4a+21=0、C2:x^2+y^2=5$がある。また、C₂上の点P(2,1)におけるC₂の 接線を$l$とする。ただし、aはa＞-2を満たす定数とする。
(1)a=1のとき、C₁の中心の座標と半径を求めよ。
(2)$l$の方程式を求めよ。
(3)C₁と$l$が接するようなaの値を求めよ。また、このとき のC1と$l$の接点をQとするとき、線分PQの長さを求めよ。

第3問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$f(x)=x^3+(a+3)x^2+(3a+b)x+3b$ と、3次方程式 $f(x)=0$･･･(*)がある。
(1)f(-3)を求めよ。
(2)a=-1かつb=1のとき、(*)を解け。
(3)(*)が異なる2つの虚数解をもつためのa,bの条件を求めよ。
(4)a,bが(3)で求めた条件を満たすとし、(*)の異なる2つの虚数解をα,βとする。このとき、${\alpha }^2,{\beta }^2$がともに(*)の解となるようなa,bの値の組(a,b)をすべて求めよ。

第4問：確率
5枚のカード1,1,2,2,3が入った袋が1つあり、次の操作(I)を考える。
操作(I): 袋から2枚のカードを同時に取り出し、取り出した2枚のカードに書かれた数の和をXとし、取り出した2枚のカードを袋に戻す。
(1)操作(I)を1回行う。
(i)X=2となる確率を求めよ。
(ii)X=4となる確率を求めよ。
さらに、1枚の硬貨を用意し、操作(I)で定まるXの値に対して、次の操作(II)を考える。
操作(II):1枚の硬貨を投げ、表が出たらY=X+1とし、裏が出たらY=Xとする。
操作(I), (II)を(I), (II)の順に1回ずつ行うことを操作Tとする。
(2)操作Tを1回行う。
(i)Y=4となる確率を求めよ。
(ii)Yの期待値を求めよ。
(3)操作Tを3回繰り返すとき、3回のYの値の合計が15になる確率を求めよ。

第5問：三角関数
aを実数の定数とする。θの方程式$cos2\theta +2(5a-1)sin\theta -12a^2+6a-1=0$･･･(*)がある
(1)cos2θをsinθを用いて表せ。
(2)a=0とする。0≦θ＜2πにおいて、(*)を解け。
(3)0≦θ＜2πにおいて、(*)が異なる4個の解をもつとする。
(i)aのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)0≦θ＜2πにおける(*)の4個の解を、小さい順にθ₁,θ₂,θ₃,θ₄とする。(θ₂-θ₁)+(θ₄-θ₃)=πとなるようなaの値を求めよ。

第6問：数列
nは自然数。等差数列{a_n}があり、a₁+a₂=8,a₄+a₅=20である。また、公比が実数である等比数列{b_n}があり、
b₁+b₂=4, b₄+b₅=108である。
(1)数列{a_n}の一般項を求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2)数列{b_n}の一般項を求めよ。
(3)数列{c_n}は、左から順に次のような項が並べられた数列である。 b₁がa₁個、b₂がa₂個、b₃がa₃個、...、b_nがa_n個、... すなわち、{c}: b₁,...,b₁, b₂,...,b₂, b₃,..,b₃,...,b_n,...,b_n,...
(i)C₂₀₂₃の値を求めよ。ただし、結果は2¹⁰⁰のように指数表示のままでよい。
(ii)${\displaystyle \sum _{k=1}^{2023}{c}_k}$の値を求めよ。ただし、結果は$2^{100}$のように指数表示のままでよい。

問題文全文(内容文)：
【１】
(1)　不等式$2|x-2|-x\leqq$4を解け。
(2)　関数$f(x)={\log }_2(x-1)+2{\log }_4(3-2x)$の最大値を求めよ。
(3)　曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{4k^2-1}}}$をnを用いて表せ。
(5)　$OA=2，OB=3，\angle AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ)　$OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ)　$|OC|$を求めよ。


【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,\dots$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+\dots +x_n$　($n=1，2，3，\dots$) と定める。
(1)　$S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2)　$S_4=12$　である確率を求めよ。
(3)　$S_4=12$　であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。

【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq \theta <2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin 2\theta -2a^2\cos \theta -\sin \theta +a=0$　　…（*） を考える。
(1)　$a=1$のとき、（＊）を解け。
(2)　（＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3)　（＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha +\beta$の値を求めよ。


【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1)　点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2)　$a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき 　　$(2x-6y-a{)}^2+(5x+y{)}^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。


【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_n{B}_n：A_n{A}_{(}n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1<p<2$を満たす定数とする。
(1)　$r_{(}n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$\Sigma r_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2)　$p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ)　$B_n{B}_{n+1}$を求めよ
(ⅱ)　極限値${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_1{B}_n}$を求めよ
(ⅲ)　$\alpha ＝{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_1{B}_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。　　　極限${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(B1Bn－\alpha )\beta n}$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。


【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…①　　 $z^2－2az+8=0$…②　　 を考える。
(1)　①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )r>0，0\leqq \theta <2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2)　②が異なる2つの虚数解$\alpha ,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha ,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ)　$a$の値と$\alpha ,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$\gamma$とする。複素数平面上で3点$\alpha ,\beta ,{\gamma }^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{ア}-\sqrt{\mathrm{イ}}}{\mathrm{ウ}}}$,$\beta ={\displaystyle \frac{\mathrm{ア}+\sqrt{\mathrm{イ}}}{\mathrm{ウ}}}$

である。

(1)$n<{\displaystyle \frac{1}{\beta }<n+1}$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\{\begin{array}{l}\alpha x<1\\ \beta x<1\end{array}$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x<{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$　　①　${\displaystyle \frac{1}{\alpha }<x}$

カ　の解答群

⓪　$x<{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$　　①　${\displaystyle \frac{1}{\alpha }<x<{\displaystyle \frac{1}{\beta }}}$　　②　${\displaystyle \frac{1}{\beta }<x}$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos\angle BAC={\displaystyle \frac{\mathrm{ク}}{\mathrm{ケ}}}$,$sin\angle BAC={\displaystyle \frac{\mathrm{コ}}{\mathrm{サ}}}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は${\displaystyle \frac{\mathrm{シ}\sqrt{\mathrm{ス}}}{\mathrm{セ}}}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{\mathrm{ソ}}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD=\mathrm{タ}$

であり、

$\angle ADC=\mathrm{チ}\mathrm{ツ}°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L=CQ+PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$A{B}^2>B{C}^2+C{A}^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$\mathrm{テ}\sqrt{\mathrm{ト}}$である。

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)$(x^2+x)(x^2+x-3)$を展開すると、$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$となる.
(2)$2x^2-5xy-3y^2$を因数分解すると、$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$となる.
(3)$\alpha =3+\sqrt{6}、\beta =3-\sqrt{6}$について、$\alpha \beta$の値は$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$であり、$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$である.
(4)$\theta$は鋭角とする.$\tan \theta =\sqrt{3}$のとき、$\cos \theta =\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$である.
(5)不等式$-x<3x-4<x$の解は$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$である.
(6)次のデータがある。$6,3,5,2,2,7,1,4,8$ このデータの第3四分位数は$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$であり、四分位範囲は$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$である.

第2問[1]：図形と計量
三角形$ABC$があり、$AB=4,AC=5,\cos \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{1}{8}}$である。
(1)$\sin \mathrm{\angle }BAC$の値を求めよ。また、辺$BC$の長さを求めよ。
(2)辺$AC$(両端を除く)上に点$D$をとり、三角形$BCD$の外接円の半径を$R$とする。
(i)$\mathrm{\angle }BDC=\theta$とおくとき、$\sin \theta$を$R$を用いて表せ.
(ii)$R=4$のとき、線分$BD$の長さと線分$AD$の長さを求めよ.

[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に$1,2,3,4$である場合は$N=1234$となる。　
(1)$N$は全部で何個できるか.
(2)$2126,3335$のように、同じ数を含む$N$は何個できるか．
(3)$4321$より大きい$N$は何個できるか.

第3問：2次関数
$x$の2次関数$f(x)=x^2-2x+2$があり、放物線$y=f(x)$を$C_1$とする。
(1)(i)$C_1$の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
(2)$p$を正の整数とする。$C_1$を$x$軸の方向に$p$、$y$軸方向に$-p$だけ平行移動した放物線を$C_2$とし、$C_2$の方程式を$y=g(x)$とする。
(i)$C_2$の頂点の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$g(x)$の最小値を$m$とする。$m$を$p$を用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つような$p$の値の範囲を求めよ。
　 (A)$0\leqq x\leqq 4$を満たすすべての実数$x$に$g(x)>0$
(B)$0\leqq x\leqq 4$を満たすある実数xに対して$g(x)>8$

第4問：複素数と方程式
$a,b$を実数の定数とし、$c$を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
$x^2-6x+10=0$ …①
$x^2-ax+b=0$ …②
があり、②の2つの解は$1+ci、1-ci$である。ただし、$i$は虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)$a$の値を求めよ。また、$b$を$c$を用いて表せ。
(3)$d$を実数の定数とする。多項式$P(x)$があり、$P(x)$を2次式$x^2-ax+b=0$で割ると、商は $x^2-6x+10=0$、余りは$cx+d$である。
　(i)$P(1+ci)$を$p+qi$ ($p,q$は実数であり、いずれも$c,d$で表された式)の形で表せ。
　(ii)①の２つの解を$\alpha ,\beta$と表し、複素数の集合$A,B$を
　$A=\alpha ,\beta ,1+ci,1-ci、B=P(\alpha )，P(\beta )，P(1+ci)，P(1-ci)$
　と定める。$A=B$となるような$b,c,d$の組($b.c,d$)をすべて求めよ。ただし、$A=B$とは、$A$の要素と$B$の要素がすべて一致することである。

第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)$AB＝5$,$BC＝7$,$CA＝6$の三角形ABCがある。$cos\angle BAC$の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

(2)aは実数の定数とする。xの2次方程式$x^2-2ax+5a-6=0$が異なる2つの正の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

(3)方程式$x^3-4x²+8=0$を解け。

(4)mは実数の定数とする。座標平面における原点Oと直線$y=mx+m+2$の距離が2より大きくなるようなmの値の範囲を求めよ。

(5)実数xが、$2^x+2^{-x}=3$を満たしている。$4^x+4^{-x}$の値を求めよ。

(6)方程式$lo{g}_4(5x-1)=lo{g}_2(2x-1)$を解け。

大問2：三角関数
(1)$sin\frac{\pi }{12}$,$cos\frac{\pi }{12}$の値を求めよ。

(2)Oを原点とするxy平面上にOを中心とする半径1の円Eがあり、E上に3点$A(0,-1)$,$B(\frac{-\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$, $C(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2})$がある。また、Eの上に点Pをとり、$P(cos\theta ,sin\theta )$$(0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})$とするとき、Lを$L＝AP²＋BP²＋CP²$と定める。
(i)Lをθで表せ。
(ii)θが$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$を変化するとき、Lの最大値、最小値とそれを与えるθの値を求めよ。

大問3：場合の数
1,2,3,4,5,6,7,8,9の9枚のカードをA,B,Cの3人に3枚ずつ配る。
(1)カードの配り方は全部で何通りあるか。
(2)Aのカードの番号がいずれも2の倍数であるような3人への配り方は何通りあるか。
(3)Aのカードの番号の積が3の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
(4)A,B,Cのカードの番号の積がそれぞれ6の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。

大問4：微分法
aを正の定数とし、関数f(x)を$f(x)=x^3-a{x}^2+4a-8$とする。
連立不等式$y\geqq f(x),y\leqq f(0),x\geqq 0$を満たす整数の組$(x,y)$の個数を$N(a)$とする。
(1)$a=2$のとき、f(x)の増減、極値を調べ、$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。
(2)$N(2)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極大値をMとする。曲線$y=f(x)$と直線$y=M$の共有点のx座標のうち、正であるものを求めよ。
(4)aを$\frac{9}{4}＜a＜\frac{5}{2}$を満たす定数とするとき、$N(a)=N(2)$となるようなaの値の範囲を求めよ。


大問5：数列
rは0以外の実数とする。数列$a_n$は、$a_1=1$,$a_{n+1}=r{a}_n$ $(n=1,2,3,\dots )$を満たしている。また、この数列$a_n$に対して、数列$b_n$を、$b_1=-1$,$b_{n+1}=2b_n+a_n$ $(n=1,2,3,\dots )$によって定める。
(1)数列$a_n$の一般項を求めよ。
(2)数列$c_n$を $c_n=\frac{b_n}{r^n}$ によって定める。
(i)$c_{n+1}$を$r$と$c_n$を用いて表せ。
(ii)数列$c_n$の一般項を求めよ。
(3)$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k}$とする。$r=2$のとき、$S_n$を最小にする正の整数$n$の値をすべて求めよ。また、$r=4$のとき、$S_n$を最小にする正の整数$n$の値をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
2022年度第2回K塾記述高2模試全問解説動画です！

問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)12/(3-√5)の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)b²+10bの値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数f(x)=2x²-6x+aの0≦x≦1における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、AB=3、BC=4、CA=2である。cos∠BACの値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式x³-x²-x-2=0を解け。
(5)円x²+y²=4上の点(1, √3)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式4^x-5・2-(x+1)+24=0を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、OA=√3-1、OB=√2、∠AOB=3π/4が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。∠AOD=θ(0＜θ＜3π/4)とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積をθを用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積をsinθ、cosθを用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与えるθの値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、N=12とし、123と並べたときは3桁の数で、N=123とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数f(x)=x³+ax²+bx+a²はx=-1で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)y=f(x)のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順にα、β、γとする。
(i)α＞-3を示せ。
(ii)P(3,0)、B(β,0)、C(γ,0)とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列{a[n]}{b[n]}がa[1]=3/2、a[n+1]=3/2a[n]-1/2 (n=1,2,3,...) b[1]=p、b[n+1]=b[n]+p-1/2(3/2)^(n-1) (n=1,2,3,...) を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)a[n]をnの式で表せ。
(2)b[n]をpとnの式で表せ。
(3)c[n]=b[n]-a[n]とする。c[n]がn=4で最大となるようなpの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)${\displaystyle \frac{12}{3-\sqrt{5}}}$の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)$b^2+10b$の値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数$f(x)=2x^2-6x+a$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、$AB=3、BC=4、CA=2$である。$\cos \mathrm{\angle }BAC$の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式$x^3-x^2-x-2=0$を解け。
(5)円$x^2+y^2=4$上の点($1,\sqrt{3}$)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式$4^x-5\mathrm{・}2-(x+1)+24=0$を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、$OA=\sqrt{3}-1、OB=\sqrt{2}、\mathrm{\angle }AOB={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。$\angle AOD=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積を$\theta$を用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積を$\sin \theta 、\cos \theta$を用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与える$\theta$の値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、$N=12$とし、123と並べたときは3桁の数で、$N=123$とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+a^2$は$x=-1$で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)$y=f(x)$のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順に$\alpha ,\beta ,\gamma$とする。
(i)$\alpha >-3$を示せ。
(ii)$P(3,0)、B(\beta ,0)、C(\gamma ,0)$とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列$a_n{b}_n$が$a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}、a_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{2a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}(n=1,2,3,...)$$b_1=p、b_{n+1}=b_n+p-{\displaystyle \frac{1}{2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}}}(n=1,2,3,...)$ を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)$a_n$をnの式で表せ。
(2)$b_n$をpとnの式で表せ。
(3)$c_n=b_n-a_n$とする。$c_n$が$n=4$で最大となるようなpの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2020年度第4回K塾記述高2模試全問解説してみた.

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)2次不等式$x^2+5x-6<0$を解け。
(2)9人の生徒を3人ずつA,B,Cの3つの組に分けるとき、分け方は何通りか。
(3)次のデータがある。3,5,5,6,7,10.このデータの平均値を求めよ。また、分散を求めよ。
(4)$(4x+1{)}^5$を展開したとき、$x^2$の係数を求めよ。
(5)xの整式$x^3-3x^2+ax-a$ (aは定数)がx-2で割り切れるとき、aの値を求めよ。
(6)$a\ne 0,b\ne 0$とする。 $(ab{)}^5\times (a^2{)}^{-3}÷(b^2{)}^2$を計算せよ。
(7)整数m,nについて、$m+n$が偶数であることは、mnが偶数であるための$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$である。
(選択肢)
①必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件ではない
③十分条件であるが、必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない

大問2[1]：式と証明
次のような問題がある。
問1 すべての実数xに対して、不等式 $x^2+x+1\geqq 3x-2\dots$(＊)が成り立つことを証明せよ。
問2 $x\geqq 2$のとき、関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x}}$ の最小値を求めよ。
太郎さんはこの問題の解答を次のように書いた。
問1 $(x^2+x+1)-(3x-2)=x^2-2x+3=(a-1{)}^2+2$ すべての実数xに対して、$(x-1{)}^2\geqq 0$であるから、$(a-1{)}^2+2\geqq 0$ よって、$x^2+x+1\geqq 3x-2$ は成り立つ。
問2 $x\geqq 2$のとき、$x>0,{\displaystyle \frac{2}{x}}>0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、${\displaystyle \frac{x+2}{x}}\geqq 2\sqrt{x}\times {\displaystyle \frac{2}{x}}$ これより、$f(x)\geqq 2\sqrt{2}$ よって、f(x)の最小値は$2\sqrt{2}$である。
(1)太郎さんの問1の解答は正しいか、正しくないか答えよ(答えのみでよい)。また、xが実数のとき、問1の不等式(＊)において、等号が成り立つか成り立たないか答えよ。さらに、その理由を「実数」「実数解」のいずれかの単語を用いて説明せよ。

大問2[2]：確率
1～4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚のカードが入っている袋がある。この袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、カードに書かれた数を記録して袋に戻すことを繰り返し4回行う。
(1)4回とも1が記録される確率を求めよ。
(2)4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ。
(3)記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
aは実数の定数とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(-1,4)と円C:$x^2+y^2-2(a+1)x-4ay+5a^2+2a=0$があり、Cの中心をPとする。
(1)線分ABの長さと、直線ABの方程式を求めよ。
(2)$a=1$のとき、Pの座標を求めよ。また、このときのPと直線ABの距離を求めよ。
(3)aが実数全体を変化するとき、Pの軌跡を求めよ。
(4)aの値が$1\leqq a\leqq 3$の範囲を変化するとき、Cが通過する領域をDとする。点QがDを動くとき、三角形ABQの面積の最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
座標平面上に2点A(8,0)、B(0,8)と、原点を中心とする半径3の円がある。この円上に、x座標、y座標がともに正である点P($3\cos \theta ,3\sin \theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をとる。Pからx軸に下した垂線とx軸の交点をQ、Pからy軸に下した垂線とy軸の交点をRとし、△APQと△BPRの面積の和をSとする。
(1)線分AB、BRの長さをそれぞれ$\sin \theta 、\cos \theta$を用いて表せ。
(2)Sを$\sin \theta 、\cos \theta$を用いて表せ。
(3)$t=\sin \theta +\cos \theta$とする。$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を変化するとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。
(4)(i)θが$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。
(ii)Sが最大となる$\theta$は2つあり、それらを${\theta }_1,{\theta }_2(0<{\theta }_1<{\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする。このとき、${\displaystyle \frac{\pi }{8}}<{\theta }_1<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であることを証明せよ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax+8a$ がある。ただし、aは実数の定数である。
(1)a=2とする。
(i)f(x)の増減を調べて、f(x)の極大値と極小値を求めよ。
(ii)xの方程式$f(x)=0$の解で、$1<x<2$を満たすものの個数を求めよ。
(2)f(x)が$1<x<2$において極値をもたないようなaの値の範囲を求めよ。
(3)xの方程式$f(x)=0$が$1<x<2$の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

大問6：ベクトル
Oを原点とする座標空間に、3点A(1,2,2)、B(3,-4,0)、C(a,b,5)があり、$OA\perp OC$かつ$OB\perp OC$が成り立っている。
(1)$|OA|$、$|OB|$、内積$OA\mathrm{・}OB、\cos \mathrm{\angle }AOB$の値をそれぞれ求めよ。
(2)a,bの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)Oを中心とする半径rの球面Sがある。Sが3点A,B,Cを通る平面と交わってできる円の半径が2であるとき、rの値を求めよ。

大問7：数列
数列{$a_n$}$(n=1,2,3,\dots )$を$a_1=7,a_{n+1}=a_n+4(n=1,2,3,\dots )$によって定める。
(1)$a_4$の値を求めよ。また、数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
(2)${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}$(n=1,2,3,\dots )$を$b_1=3,b_{n+1}-b_n=a_n(n=1,2,3,\dots )$によって定める。数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。
(4)数列{$c_n$}$(n=1,2,3,\dots )$を(3)の$b_n$を用いて、$c_1={\displaystyle \frac{1}{5}},c_{n+1}=b_n\times {\displaystyle \frac{c_n}{(b_{n+1}-3)}}(n=1,2,3,\dots )$によって定める。数列$c_n$の一般項$c_n$を求めよ。また、${\displaystyle \sum _{k=1}^n{c}_k}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)mを実数の定数とする。xの2次方程式 $x^2-mx+2=0$ …(*)がある。
(i)(*)が異なる2つの実数解をもつようなmの値の範囲を求めよ。
(ii)(*)が0より大きく3より小さい異なる2つの解をもつようなmの値の範囲を求 めよ。
(2)円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=1,BC=3,CD=DA,\cos \mathrm{\angle }ABC=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。
(i)線分ACの長さを求めよ。
(ii)辺CDの長さを求めよ。
(iii)四角形ABCDの面積を求めよ。
(3)$(2x-y{)}^7$の展開式における$x^2{y}^5$の係数を求めよ。
(4)不等式$\log_3(3-2x)+\log_{\rac{1}{3}(x+1)\leqq 1$\mathrm{を}\mathrm{解}\mathrm{け}。(5)\mathrm{等}\mathrm{式}$f(x)=x^2+\diplaystyle \int_{0\to 1}xf(t)dt$\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{関}\mathrm{数}f(x)\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。\mathrm{大}\mathrm{問}2：\mathrm{微}\mathrm{積}\mathrm{分}a\mathrm{を}$0＜a＜1$\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{と}\mathrm{し}、xy\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{に}\mathrm{直}\mathrm{線}$l:y=-x+2a$,\mathrm{放}\mathrm{物}\mathrm{線}$C:y=x^2-2ax$\mathrm{が}\mathrm{あ}\mathrm{る}。(1)l\mathrm{と}C\mathrm{の}\mathrm{交}\mathrm{点}\mathrm{の}\mathrm{座}\mathrm{標}\mathrm{を}\mathrm{す}\mathrm{べ}\mathrm{て}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(2)l\mathrm{の}y\geqq 0\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{と}C\mathrm{で}\mathrm{囲}\mathrm{ま}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{図}\mathrm{形}\mathrm{の}\mathrm{面}\mathrm{積}\mathrm{を}S₁、l\mathrm{と}y\leqq 0\mathrm{の}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{と}C、\mathrm{お}\mathrm{よ}\mathrm{び}\mathrm{直}\mathrm{線}x=2\mathrm{で}\mathrm{囲}\mathrm{ま}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{図}\mathrm{形}\mathrm{の}\mathrm{面}\mathrm{積}\mathrm{を}S₂\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。(i)S₁\mathrm{を}a\mathrm{を}\mathrm{用}\mathrm{い}\mathrm{て}\mathrm{表}\mathrm{せ}。(ii)a\mathrm{が}$0＜a＜1$\mathrm{の}\mathrm{範}\mathrm{囲}\mathrm{を}\mathrm{動}\mathrm{く}\mathrm{と}\mathrm{き}、$S_1+S_2$\mathrm{を}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{に}\mathrm{す}\mathrm{る}a\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。\mathrm{大}\mathrm{問}3：\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{青}\mathrm{の}\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{が}\mathrm{そ}\mathrm{れ}\mathrm{ぞ}\mathrm{れ}1\mathrm{枚}\mathrm{ず}\mathrm{つ}\mathrm{箱}\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{に}\mathrm{入}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{い}\mathrm{る}。\mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{箱}\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{無}\mathrm{作}\mathrm{為}\mathrm{に}1\mathrm{枚}\mathrm{の}\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{を}\mathrm{取}\mathrm{り}\mathrm{出}\mathrm{し}、\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{の}\mathrm{色}\mathrm{を}\mathrm{紙}\mathrm{に}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{し}、\mathrm{取}\mathrm{り}\mathrm{出}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{を}\mathrm{箱}\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{に}\mathrm{戻}\mathrm{す}。\mathrm{こ}\mathrm{れ}\mathrm{を}1\mathrm{回}\mathrm{の}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{と}\mathrm{し}、\mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{を}\mathrm{繰}\mathrm{り}\mathrm{返}\mathrm{す}。\mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し}、\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{色}\mathrm{が}2\mathrm{回}\mathrm{連}\mathrm{続}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{紙}\mathrm{に}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{さ}\mathrm{れ}\mathrm{た}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{は}、\mathrm{そ}\mathrm{れ}\mathrm{ま}\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{に}\mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{紙}\mathrm{に}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{さ}\mathrm{れ}\mathrm{た}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{を}\mathrm{す}\mathrm{べ}\mathrm{て}\mathrm{消}\mathrm{し}、\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{再}\mathrm{び}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{し}\mathrm{直}\mathrm{す}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{青}\mathrm{の}3\mathrm{色}\mathrm{す}\mathrm{べ}\mathrm{て}\mathrm{が}\mathrm{紙}\mathrm{に}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{さ}\mathrm{れ}\mathrm{た}\mathrm{ら}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{を}\mathrm{終}\mathrm{了}\mathrm{す}\mathrm{る}。\mathrm{ま}\mathrm{た}、\mathrm{終}\mathrm{了}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{ま}\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{回}\mathrm{数}\mathrm{を}X\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。\mathrm{例}\mathrm{え}\mathrm{ば}、\mathrm{取}\mathrm{り}\mathrm{出}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{の}\mathrm{色}\mathrm{が}\mathrm{順}\mathrm{に}\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{青}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}、\mathrm{最}\mathrm{終}\mathrm{的}\mathrm{に}\mathrm{紙}\mathrm{に}\mathrm{は}【\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{青}】\mathrm{と}\mathrm{色}\mathrm{が}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{さ}\mathrm{れ}、X=5\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}。\mathrm{取}\mathrm{り}\mathrm{出}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{が}\mathrm{順}\mathrm{に}\mathrm{青}、\mathrm{赤}、\mathrm{赤}、\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{青}\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}、\mathrm{最}\mathrm{終}\mathrm{的}\mathrm{に}\mathrm{紙}\mathrm{に}\mathrm{は}【\mathrm{赤}、\mathrm{白}、\mathrm{青}】\mathrm{と}\mathrm{色}\mathrm{が}\mathrm{記}\mathrm{録}\mathrm{さ}\mathrm{れ}、X=6\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}。(1)X=3,X=4\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{を}\mathrm{そ}\mathrm{れ}\mathrm{ぞ}\mathrm{れ}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(2)X=5\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(3)X=7\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。\mathrm{大}\mathrm{問}4：\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{性}\mathrm{質}\mathrm{整}\mathrm{数}x,y\mathrm{の}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}$7x-3y=1$\dots (\ast )\mathrm{が}\mathrm{あ}\mathrm{る}。(1)(\ast )\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{の}\mathrm{組}(x,y)\mathrm{を}1\mathrm{組}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(2)(\ast )\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{の}\mathrm{組}(x,y)\mathrm{を}\mathrm{す}\mathrm{べ}\mathrm{て}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(3)(\ast )\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{の}\mathrm{組}(x,y)\mathrm{の}\mathrm{う}\mathrm{ち}、xy\mathrm{が}10\mathrm{の}\mathrm{倍}\mathrm{数}、\mathrm{か}\mathrm{つ}$1\leqq x\leqq 2020$\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{は}\mathrm{何}\mathrm{組}\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{か}。\mathrm{大}\mathrm{問}5：\mathrm{図}\mathrm{形}\mathrm{と}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}xy\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{に}\mathrm{円}$Ca:x^2+y^2-4ax-2(a+3)y+5a^2+6a+4=0$\mathrm{が}\mathrm{あ}\mathrm{る}。\mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し}、a\mathrm{は}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。(1)Ca\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{の}\mathrm{座}\mathrm{標}\mathrm{と}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(2)a\mathrm{が}\mathrm{す}\mathrm{べ}\mathrm{て}\mathrm{の}\mathrm{字}\mathrm{数}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{と}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{変}\mathrm{化}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\mathrm{き}、Ca\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{の}\mathrm{軌}\mathrm{跡}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(3)a\mathrm{が}a\geqq 1\mathrm{の}\mathrm{範}\mathrm{囲}\mathrm{を}\mathrm{動}\mathrm{く}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{の}Ca\mathrm{の}\mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{領}\mathrm{域}\mathrm{を}D\mathrm{と}\mathrm{し}、\mathrm{定}\mathrm{点}(s,0)\mathrm{と}D\mathrm{上}\mathrm{の}\mathrm{点}(x,y)\mathrm{の}\mathrm{距}\mathrm{離}\mathrm{を}L\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。\mathrm{点}(x,y)\mathrm{が}D\mathrm{上}\mathrm{を}\mathrm{動}\mathrm{く}\mathrm{と}\mathrm{き}、L\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{値}\mathrm{を}s\mathrm{を}\mathrm{用}\mathrm{い}\mathrm{て}\mathrm{表}\mathrm{せ}。\mathrm{大}\mathrm{問}6：\mathrm{ベ}\mathrm{ク}\mathrm{ト}\mathrm{ル}O\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}xyz\mathrm{空}\mathrm{間}\mathrm{に}、2\mathrm{点}A(2,0,0)、B(-1,1,1)\mathrm{と}\mathrm{球}\mathrm{面}$S:x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+11=0$\mathrm{が}\mathrm{あ}\mathrm{り}、S\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{を}C\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。(1)C\mathrm{の}\mathrm{座}\mathrm{標}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。\mathrm{ま}\mathrm{た}、S\mathrm{の}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。(2)s,t\mathrm{を}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{と}\mathrm{し}、$OH=sOA+tOB$とおく。CHが平面OABと垂直になるようなs,tの値 を求めよ。 (3)S上に点Pをとり、四面体OABPを作る。PがS上を動くとき、四面体OABPの体積 の最大値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
和訳問題：Interesting as this sounds, the story has a flaw.

問題文全文(内容文)：
2019年度8月 第2回 K塾高2模試 総集編

問題文全文(内容文)：
三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三 角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)$GF=tAB$(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)$AB=\sqrt{3},AB\mathrm{・}AC=-1,AC=\sqrt{7}$とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)$AH=kAB$(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数列{$a_n$}($n=1,2,3,...$)は初項-8、公差4の等差数列であり、数列{$b_n$} ($n=1,2,3,...$)は初項から第n項までの和が$S_n{\displaystyle \frac{3^n}{2}}(n=1,2,3,...)$で与えられ る数列である。
(1)数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。また、数列{$a_n$}の初項から第n項までの 和を求めよ。 (2)${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a_k{)}^2}$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。 (4)nを3以上の整数とするとき、${\displaystyle \sum _{k=1}^n|a_k{b}_k|}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三 角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)GF=tAB(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)AB=√3,AB・AC=-1,AC=√7とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)AH=kAB(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
aを正の整数とする。$\theta$の方程式$\sin (a\theta )+\sqrt{3}\cos (a\theta )=1$ ・・・(＊) がある。
(1)$\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$)を$\sin \theta ,\cos \theta$の式で表せ。
(2)$a=1$のとき、(＊)を$0\leqq \theta <2\pi$において表せ。
(3)(＊)の$\theta \geqq 0$を満たすθのうち、小さい方から4つをaを用いて表せ。
(4)Nを正の整数とする。$0\leqq <2\pi$において、(＊)の解がちょうど2N個存在するようなaの値の範囲をNを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロ を1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。 (規則) ・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。 ・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。 ・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。 例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy 座標が2である条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
a,bを実数定数とする。xの方程式 $x^3+(1-a)x^2+3x+b=0$・・・(＊) は$x=-1$を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)$a=1$のとき、(＊)を解け。
(3)(＊)が異なる3個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、(＊)の-1以外の解を$\alpha ,\beta$とする。 $f(x)=x^2+cx+d$ (c,dは実数の定数) が次の(条件)を満たすとき、c,dの値の組(c,d)を求めよ。 (条件) $f(\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\beta }}f(\beta )={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}f(-1)=-1$

問題文全文(内容文)：
mを実数の定数とする。xy平面上に 円$C:x^2+y^2-2x-6y+9=0$ 直線$l:y=mx$ がある。
(1)Cの中心の座標と半径を求めよ。
(2)Cとlが接するようなmの値を求めよ。
(3)(2)のときのCとlの接点をPとする。Pにおいてlに接し、x軸上に中心があるような円の方程式を求めよ

問題文全文(内容文)：
実数xについての2つの不等式$(x-a^2)(x-2a+2)\leqq 0$・・・①$|2x-1|\leqq 2$・・・② がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1)$a=0$のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)①かつ②を満たす整数xがちょうど1個だけ存在するようなaの値の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(x+y+2{)}^2$を展開せよ。
(2)${\displaystyle \frac{x^2-2x}{x^2+4x+3}}\times {\displaystyle \frac{2x+2}{x-2}}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=2x^2-8x+9(0\leqq x\leqq 1)$における最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。${\displaystyle \frac{2+i}{1-3i}}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=3,BC=4\sqrt{2},CA=5$である三角形ABCにおいて、$\cos \mathrm{\angle }ABC$を求めよ。また、三 角形ABCの面積を求めよ。
(6)男子6人、女子4人の合計10人から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りか。 また、そのうち、女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りか。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)(a+3)³を展開せよ。
(2)(x-3)/(x²+x) + (x+9)/(x²+3x)を計算せよ。
(3)2次関数y=x²+2x (-2≦x≦2)における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。(7+3i)/(1+i)をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)0°≦θ＜180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、sinθ・cosθとcosθ-sinθを求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 ax²+2ax-2a+1≦0・・・①
│x-2│≦1・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)a=-1のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、AB=7、BC=8、CA=3とする。
(1)cos∠BACの値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、 sin∠BCP:sin∠CBP=1:3となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10について、2^zを7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 7x=2^z+3・・・① を満たしている。0≦z≦10のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 (4x+3y)(x-y)=2^z・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
θの関数 f(θ)=1/2sin2θ-√2kcos(θ-π/4)+k² がある。ただし、kは正の定数である。
(1)sin2θ,cos(θ-π/4)のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)f(θ)を(sinθ-p)(cosθ-q) (p,qは定数)の形で表せ。 (ii)k=√3/2のとき、方程式f(θ)=0を0≦θ＜2πにおいて解け。
(3)θの方程式f(θ)=0が0≦θ＜2πにおいて相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式f(θ)=0の0≦θ＜2πにおける最小の解をα、最大の解をβと する。α+β=5π/3となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)$(a+3{)}^3$を展開せよ。
(2)${\displaystyle \frac{x-3}{x^2+x}}+{\displaystyle \frac{x+9}{x^2+3x}}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=x^2+2x(-2\leqq x\leqq 2)$における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。${\displaystyle \frac{7+3i}{1+i}}$をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)$0°\leqq \theta <180°、\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき、$\sin \theta \mathrm{・}\cos \theta$と$\cos \theta -\sin \theta$を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 $a{x}^2+2ax-2a+1\leqq 0$・・・①
$|x-2|\leqq 1$・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)$a=-1$のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、$AB=7、BC=8、CA=3$とする。
(1)$\cos \mathrm{\angle }BAC$の値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、$\sin \mathrm{\angle }BCP:\sin \mathrm{\angle }CBP=1:3$となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)$z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$について、$2^z$を7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 $7x=2^z+3$・・・① を満たしている。$0\leqq z\leqq 10$のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 $(4x+3y)(x-y)=2^z$・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 $P(x)=x^3+3x^2+3x+a$ があり、$P(-2)=0$を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式$P(x)=0$を解け。
(3)方程式$P(x)=0$の虚数解のうち、虚部が正であるものを$\alpha$、虚部が負であるもの を$\beta$と表す。また、方程式$P(x)=0$の実数解を$\gamma$と表す。さらに、$A=\alpha +1、B=\beta +1、C=\gamma +1$とする。
(i)$A^2+B^2、A^3、B^3$の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。$A^n+B^n+C^n=0$を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
$\theta$の関数 $f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2\sin 2\theta }}-\sqrt{2}k\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+k^2$ がある。ただし、kは正の定数である。
(1)$\sin 2\theta ,\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$のそれぞれを$\sin \theta 、\cos \theta$を用いて表せ。
(2)(i)f($\theta$)を$(\sin \theta -p)(\cos \theta -q)$(p,qは定数)の形で表せ。$(ii)k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき、方程式$f(\theta )=0$を$0\leqq \theta <2\pi$において解け。
(3)θの方程式$f(\theta )=0$が$0\leqq \theta <2\pi$において相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式$f(\theta )=0$の$0\leqq \theta <2\pi$における最小の解を$\alpha$、最大の解を$\beta$と する。$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、$OA=2,OB=1,\mathrm{\angle }AOB=120°$である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。また$OB=a,OB=b$とする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)$OH=kOD$(kは実数)と表される点Hがある。$CT\perp OD$となるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを$\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }POD$となるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。